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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Mo 08.05.2006 | | Autor: | Haase |
| Aufgabe | Aufgabe:
Zu euner Parabel mit der Funktion: [mm] y=x^2-6x+21/4
[/mm]
soll der kleinste Abstand vom Ursprung des Hoordinatensystems mit Hilfe der Differentialrechnung ermittelt werden. |
Hallo meine netten Helfer ;)
Ich habe Schrierigkeiten bei einer Aufgabe.
Meine Überlegungen:
1. Hauptbedingung
[mm] y=x^2-6x+21/4
[/mm]
2. Nebenbedingun
y=mx
Nun müsste ich das "m" noch wegbekommen und dann könnte ich die Gleichung nach y ode x auflösung und dann in die HB. einsetzen.
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Hallo Haase!
Gemäß Pythagoras gilt für den Abstand zweier Punkte $P_$ und $Q_$ im [mm] $\IR^2$ [/mm] folgende Formel:
$d(P;Q) \ = \ [mm] \wurzel{\left(x_Q-x_P\right)^2+\left(y_Q-y_P\right)^2 \ }$
[/mm]
Das ist hier unsere Hauptbedingung.
Die Nebenbedingung ergibt sich aus dem gegebenen Punkt $P \ ( \ 0 \ | \ 0 \ )$ sowie dem Punkt $Q_$ auf der Kurve der Funktion:
[mm] $y_Q [/mm] \ = \ [mm] x_Q^2-6x_Q+\bruch{21}{4}$
[/mm]
Dies nun eingesetzt in die Abstandsformel ergibt die Zielfunktion:
$d(x) \ = \ [mm] \wurzel{\left(x_Q-0\right)^2+\left(x_Q^2-6x_Q+\bruch{21}{4}-0\right)^2 \ }\ [/mm] = \ [mm] \wurzel{x_Q^2+\left(x_Q^2-6x_Q+\bruch{21}{4}\right)^2 \ }$
[/mm]
Um sich nun die Arbeit beim Ableiten zu vereinfachen, kann man auch die Funktion $f(x) \ = \ [mm] \left[ \ d(x) \ \right]^2 [/mm] \ = \ [mm] x^2+\left(x^2-6x+\bruch{21}{4}\right)^2$ [/mm] betrachten.
Dies ist zulässig wegen der (strengen) Monotonie der Wurzelfunktion.
Kommst Du damit nun weiter?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Mo 08.05.2006 | | Autor: | Haase |
Vielen Dank für deine schnelle Hilfe.
Ich habe es einmal weiter versucht.
1. Hauptbedingung
[mm] d=wurzel(x^2+y^2)
[/mm]
2. Nebenbedingung
[mm] y=x^2-6x+21/4
[/mm]
y in Hauptbedingung ...
3. Funktionsgleichung
[mm] d=wurzel(x^2+(x^2-6x+21/4)^2) [/mm] //vereinfacht
[mm] d=x+x^2-6x+21/4 [/mm] //vereinfacht
[mm] d=x^2-5x+21/4 [/mm] //Funktionsgleuchung
4. Ableitung
d'=2x-5
5. Extremwertbestimmung
0=2x-5
x=2,5 //Teil-Ergebnis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:09 Di 09.05.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Haase,
> Vielen Dank für deine schnelle Hilfe.
> Ich habe es einmal weiter versucht.
>
> 1. Hauptbedingung
> [mm]d=wurzel(x^2+y^2)[/mm]
>
> 2. Nebenbedingung
> [mm]y=x^2-6x+21/4[/mm]
> y in Hauptbedingung ...
>
> 3. Funktionsgleichung
> [mm]d=wurzel(x^2+(x^2-6x+21/4)^2)[/mm] //vereinfacht
> [mm]d=x+x^2-6x+21/4[/mm] //vereinfacht
Das durftest du nicht machen! Du darfst aus einer Summe nicht einfach aus jedem Summanden die Wurzel ziehen. Am einfachsten bestimmst du das Extremum der Funktione [mm] d^2.
[/mm]
Gruß
Sigrid
> [mm]d=x^2-5x+21/4[/mm]
> //Funktionsgleuchung
>
> 4. Ableitung
> d'=2x-5
>
> 5. Extremwertbestimmung
> 0=2x-5
> x=2,5 //Teil-Ergebnis
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:32 Di 09.05.2006 | | Autor: | Haase |
Oh nein, ich mache auch manchmal blöde Fehler. Vielen Dank
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