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Hallo, erst mal allen hier ein wundervolles, gesundes neues Jahr.
Ich muss diese Extremwertaufgabe lösen, wäre super wenn mir jmd helfen könnte.
In ein gleichschenkliges Dreieck mit der Grundlänge c und der Höhe h ist ein gleichschenkliges Dreieck so einzubeschreiben, dass dessen Spitze im Mittelpunkt der Grundseite liegt. Der Flächeninhalt des einbeschriebenen Dreieck soll maximal werden.
Habe mir schon eine Skizze gemacht und es so probiert, komme aber nicht weiter :-(
1. Hauptbedingung
A sei max
[mm] f(x,y)=\bruch{a^{2}}{4}*\wurzel{3} [/mm] sei max (x u. y hab ich die innerern Seiten des Dreiecks genannt)
2. Nebenbedinung (über Strahlensatz)
[mm] \bruch{h}{\bruch{c}{2}}=\bruch{(h-y)}{\bruch{x}{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{(h*x)}{2}=\bruch{(h-y)*c}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{(h*x)}{2}=\bruch{(hc-yc)}{2}
[/mm]
hx=hc-yc
[mm] x=c-\bruch{y}{h}*c
[/mm]
[mm] x=c-\bruch{y}{\bruch{c}{2}*\wurzel{3}}*c
[/mm]
[mm] x=\bruch{(c-2y)}{\wurzel{3}}
[/mm]
Nun müsst ich das doch irgendwie wieder in die Hauptbedingung einsetzen, oder ist das überhaupt so möglich? Bräuchte dringend einen Lösungsweg und die Lösung.
Schon mal vielen Dank für die Hilfe!!
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Gar keiner der helfen kann? :-(
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 Di 02.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo, erst mal allen hier ein wundervolles, gesundes neues
> Jahr.
>
> Ich muss diese Extremwertaufgabe lösen, wäre super wenn mir
> jmd helfen könnte.
>
> In ein gleichschenkliges Dreieck mit der Grundlänge c und
> der Höhe h ist ein gleichschenkliges Dreieck so
> einzubeschreiben, dass dessen Spitze im Mittelpunkt der
> Grundseite liegt. Der Flächeninhalt des einbeschriebenen
> Dreieck soll maximal werden.
>
> Habe mir schon eine Skizze gemacht und es so probiert,
> komme aber nicht weiter :-(
>
> 1. Hauptbedingung
>
> A sei max
>
> [mm]f(x,y)=\bruch{a^{2}}{4}*\wurzel{3}[/mm] sei max (x u. y hab ich
> die innerern Seiten des Dreiecks genannt)
Hmm, wenn du f(x,y) schreibst, sollte in deinem term auch irgendwo ein x und y auftauchen.
Das Dreieck, was du einbauen sollst, ist zur Höhe h des Originaldreiecks symmetrisch. Also reicht es, sich das Dreieck in einer Seite Anzuschauen.
Ich nenne die Seite, die Parallel zur Grundseite des Originaldreiecks verläuft, mal c', den Teil, der auf der Höhe h verläuft, h'
Jetzt gilt: [mm] A(c',h')=\bruch{1}{2}*2c'*h'=c'*h'
[/mm]
>
> 2. Nebenbedinung (über Strahlensatz)
>
Der Ansatz passt:
Es gilt ja: [mm] \bruch{c}{c'}=\bruch{h}{(h-h')}
[/mm]
Also ist [mm] c'=\bruch{(h-h')c}{h}
[/mm]
Das heisst,
[mm] A(h')=\bruch{(h-h')c}{h}*h'
[/mm]
[mm] =\bruch{(h-h')ch'}{h}
[/mm]
=ch'-ch*h'²
c und h sind bekannt, also kannst du davon jetzt den Extrempunkt suchen.
Also:
A'(h')=c-2ch*h'
0=c-2ch*h'
[mm] \gdw h'=\bruch{c}{2ch}=\bruch{1}{2h}
[/mm]
Kommst du jetzt weiter?
Marius
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