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Extremwertaufgaben: Streichholzschachtel
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:14 So 29.01.2006
Autor: Nomathegenie

Aufgabe
Eine Schachtel Zündhölzer hat die Maße: Länge l=5cm, Breite b=3,5cm, Höhe h=1,2cm.
Welche Maße müsste eine Streichholzschachtel haben, damit bei gleichem Volumen V und gleicher Streichholzlänge l der Materialverbrauch für beide Teile der Schachtel insgesamt möglichst klein wird.? (Größenunterschiede der Schachtel und Hülle sowie Kleberänder sollen vernachlässigt werden.)

a) Ermittle eine Zielfunktion für die Berechnung der minimalen Oberfläche.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Wie kann ich diese Aufgabe berechnen?
        
Bezug
Extremwertaufgaben: Zielfunktion
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:39 So 29.01.2006
Autor: Loddar

Hallo Nomathegenie,

[willkommenmr] !!


Wir freuen uns aber auch über eine nette Begrüßung / Anrede ;-) ...


Wie groß ist denn das Volumen der genannten Streichholzschachtel?

$V \ = \ 3.5*5*1.2 \ = \ 21 \ [mm] cm^2$ [/mm]


Und das neue Volumen berechnet sich zu: $V \ = \ L*B*H \ = \ 5*B*H \ = \ 21$

Und dann solltest Du Dir vielleicht mal eine Streichholzschachtel zur Hand nehmen ... da erkennt man dann, welche Flächen dieses Quaders man für die neue Schachtel benötigt.


Nehmen wir zunächst die Außenhülle:

Hier haben wir jeweils zweimal das große Rechteck (als Boden und Deckel) sowie die Seitenfläche:

[mm] $O_{\text{außen}} [/mm] \ = \ 2*B*L+2*H*L \ = \ 2*L*(B+H) \ = \ 2*5*(B+H) \ = \ 10*(B+H)$


Nun die Schachtel innen: 1mal Boden und jeweils 2mal die Seitenwände:

[mm] $O_{\text{innen}} [/mm] \ = \ B*L+2*B*H+2*H*L \ = \ B*5+2*B*H+2*H*5 \ = \ 5*B+10*H+2*B*H$


Dadurch ergibt sich also folgende Gesamoberfläche:

$O \ = \ O(B, H) \ =\ 10*(B+H)+5*B+10*H+2*B*H \ = \ 10*B+10*H+5*B+10*H+2*B*H \ = \ 15*B+20*H+2*B*H$


Wenn Du nun o.g. Volumenformel umstellst nach $B \ = \ ...$ oder $H \ = \ ...$ und in diese Oberflächenformel einsetzt, hast Du Deine gesuchte Zielfunktion.


Gruß
Loddar

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