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Extremwertaufgaben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:50 Mi 10.10.2007
Autor: ani

Aufgabe
Von einer wertvollen Glas-Tischplatte mit den Abmessungen 64cm mal 144 cm ist eine Ecke abgestoßen. Die Bruchkante ist parabelförmig und kann durch die Gleichung y= [mm] -\bruch{1}{16} x^2 [/mm] +64 beschrieben werden. Aus dem Rest soll eine möglichst große rechteckige Glasplatte herausgeschnitten werden. Bestimmen Sie deren Abmessungen.  

Meine Frage wäre ob 112*64 oder eine andere Lösung  richtig wäre. Ich habe zwei Ansätze

Bei der ersten habe ich die Nullstellen der Bruchkante ausgerechnet. Die Nullstellen waren 32 und -32. Ich habe die 32 gewählt und habe sie von der 144 abgezogen. 112 war die Lösung.

Bei der zweiten bin ich unicherer. Als Zielfunktion habe ich (144-x) * [mm] (\bruch{1}{16} x^2 [/mm] ) mit dem Definitionsbereich 0<x<144. Bei der Extrema habe ich dann 96 herausbekommen. Hier wusste ich dann nicht mehr weiter.

Danke
Ani

        
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Extremwertaufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:14 Mi 10.10.2007
Autor: Teufel

Hi!

x sollte sogar zwischen 0 und der rechten Nullstelle der Parabel liegen, die du ausgerechnet hast. Also sollte 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 32 gelten.

Der Extremwert ist aber, wie du richtig berechnet hast, bei x=96. Da der aber nicht im Definitionsbereich liegt, bringt er dir nicht viel. (Wenn eine Seite (144-96)cm lang wär, wäre die andere Seite über 500cm lang...)

Also schaust du dir mal die xe an den Rändern deines Definitionsbereiches an.

Für x=0 wäre eine Seite 0cm lang... das kann's nicht sein.

Die einzige Möglichkeit wäre also für x=32. Damit ist die eine Seite also 32cm lang und die andere 64cm.

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Extremwertaufgaben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:54 Mi 10.10.2007
Autor: ani

Also wären 32 * 64 die Seitenlängen und die Lösung für den größten Flächeninhalt 2048?

Und wären dann meine Maße 112 * 64 falsche bei 7168 Flächeninhalt wenn ja warum?

Danke
Ani

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Extremwertaufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:24 Mi 10.10.2007
Autor: Steffi21

Hallo,
schaue dir zunächst mal die Skizze an:

[Dateianhang nicht öffentlich]

die gesamte Glasplatte ist das Rechteck ADBC, die Parabel erkennst du, die zu schneidende Glasplatte ist das Rechteck GEFC, interessant ist der Punkt E, der liegt auf der Parabel, [mm] E(x_0; f(x_0)), [/mm]
Die Fläche eines Rechtecks ist A=a*b, die Breite a ist [mm] 64-x_0, [/mm] die Länge b ist [mm] 144-f(x_0), [/mm] versuche jetzt die Gleichung für die Fläche aufzustellen:

[mm] A(x_0)= [/mm] ...

Steffi

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Extremwertaufgaben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:39 Mi 10.10.2007
Autor: ani

Hallo

Ist es (64-x)* 144 [mm] -(-\bruch{1}{16} x^2 [/mm] +64)

Danke
Ani

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Extremwertaufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:44 Mi 10.10.2007
Autor: Teufel

Um [mm] 144-(-\bruch{1}{16}x²+64) [/mm] müsste noch eine Klammer, dann stimmts, wenn man nach der anderen Skizze geht.

Also [mm] A(x)=(64-x)*(144-(-\bruch{1}{16}x²+64))=... [/mm]

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Extremwertaufgaben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:59 Mi 10.10.2007
Autor: ani

Hallo,
Sind dann die Maße 49.56 und 64?

Danke
Ani

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Extremwertaufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:04 Mi 10.10.2007
Autor: Steffi21

Leider nein, da du nicht angegeben hast, woher diese Zahlen stammen, folgende Hinweise:
1) alle Klammern auflösen und zusammenfassen,
2) 1. Ableitung bilden,
3) 1. Ableitung Null setzen,
4) es entsteht eine quadratische Gleichung, die du lösen kannst,

Steffi

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Extremwertaufgaben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:12 Mi 10.10.2007
Autor: ani

Nach dem ich ausgeklammert habe hatte ich die Lösung

[mm] -9x^3 +576x^2+9216x [/mm] +589824
f'(x)= [mm] -27x^2 [/mm] +1152x+9216=0

x=49,56 und x=-6.88

Habe ich was falsch gemacht

Danke
Ani

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Extremwertaufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:20 Mi 10.10.2007
Autor: Steffi21

Hallo,
deine Funktion stimmt schon nicht,

[mm] A(x)=(64-x)*(144-(-\bruch{1}{16}x^{2}+64)) [/mm]

[mm] A(x)=(64-x)*(144+\bruch{1}{16}x^{2}-64) [/mm] beachte: steht ein  Minus vor der Klammer, kehren sich die Vorzeichen um

[mm] A(x)=(64-x)*(80+\bruch{1}{16}x^{2}) [/mm]

[mm] A(x)=5120+4x^{2}-80x-\bruch{1}{16}x^{3} [/mm]

[mm] A(x)=-\bruch{1}{16}x^{3}+4x^{2}-80x+5120 [/mm]

jetzt bist du dran,

A´(x)= ....

Steffi

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Extremwertaufgaben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:36 Mi 10.10.2007
Autor: ani

Hi,

sind die Maße ca. 51 und 61

Danke
Ani

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Extremwertaufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:38 Mi 10.10.2007
Autor: Teufel

Nein, ich glaube nicht... was hast du denn für ein x rausbekommen?
Ich habe für x 2 Extremwerte rausbekommen.

x=16 und [mm] x=\bruch{80}{3}. [/mm] Wobei du nun noch gucken musst, was davon das gesuchte Maximum mit sich bringt.

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Extremwertaufgaben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:57 Mi 10.10.2007
Autor: ani

Hi.
Ich komme nicht auf deinen x-werte aber wenn ich nach ihnen gehe ist der gesuchte x Wert [mm] \bruch{80}{3}. [/mm] Also wären die Maße [mm] \bruch{80}{3} [/mm] und
[mm] \bruch{1015}{9} [/mm] oder??

Danke
Ani

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Extremwertaufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:01 Mi 10.10.2007
Autor: Teufel

Ja fast. Sollte glaube [mm] \bruch{1120}{9} [/mm] sein! Das hast recht, bei [mm] x=\bruch{80}{3} [/mm] ist das Maximum.

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Extremwertaufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:14 Mo 27.05.2013
Autor: bibi2462

zu dem Ergebnis x=80/3: an der stelle 80/3 bzw. 26,66667 liegt zwar ein Hochpunkt vor, aber am Rand der Definitionsmenge weist die Funktion den größtmöglichen Wert von 5120 auf.
D.h. man erhält die größtmögliche Platte wenn man genau über dem Scheitelpunkt der Parabel schneidet. Die Platte hat dann die Maße 80mal64cm und ist somit [mm] 5120cm^2 [/mm] groß.

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