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| Aufgabe | | Ein drehzylindrische Monument (r=1m, h=4m) soll durch ein Zelt von der Gestalt einer (unten offenen) regelmäßigen vierseitigen Pyramide gegen die Witterung geschützt werden. Wie sind die Abmessungen des Zeltes zu wählen, damit möglichst wenig Plane notwendig ist? |
Also, meine Hauptbedingung ist, dass die Fläche der vier Seitendreiecke minimal werden soll: 4.a.ha.1/2 minimal. Wenn ich jetzt als Nebenbedingung den Querschnitt der Figur hernehme, und daraus mittels Strahlensatz versuche a oder ha auszudrücken
das funktioniert zwar, aber da kommt so was kompliziertes heraus, dass es sich nachher nicht mehr ableiten lässt. Meine Frage: Gibt es noch eine andere Möglichkeit auf eine Nebenbedingung zu kommen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Also, ich glaube die Lösung gefunden zu haben. Wer Fehler entdeckt, soll sich natürlich rühren 
Die Grundseite eines Planendreiecks wäre somit 4m lang, die Höhe eines Planendreiecks wäre 8m lang.
Ansatz:
Man betrachtet natürlich den seitlichen Querschnitt, und nur ein Planendreieck. Denn alle 4 Planendreiecke sehen gleich aus, man muss also nur für ein Dreieck die Minimierung durchführen.
Wenn man sich den Querschnitt aufzeichnet, so sieht man, dass sich jew. die Hälfte eines Planendreiecks (Planendreieck halbiert durch Zylinder-Symmetrieachse) aus 3 Teilen zusammensetzt:
1. ein Viereck mit Grundseite r (Zylinderradius) und h (Zylinderhöhe). Dieses Viereck ist konstant und in allen möglichen Dreiecken enthalten!
2. ein unteres "Seitendreieck" neben dem Zylinder mit der Höhe h (Zylinderhöhe) und der Grundseite s am Boden. Höhe und Grundseite schliessen hier einen rechten Winkel ein.
3. ein oberes "Seitendreieck" über dem Zylinder mit der Höhe t und der Grundseite r (Zylinderradius). t und Grundseite schließen wieder einen rechten Winkel ein.
Hier braucht man noch den Zusammenhang zwischen s und t. Es ist s*t = const. = [mm] 4m^2. [/mm] (geom. Überlegungen!)
Es sind also die zwei "Seitendreiecke" aus Pkt. 2 und 3., die variabel sind (Rechteck aus Pkt. 1 ist ja konstant). Daher ist die Fläche der zwei Seitendreiecke zusammen zu minimieren.
Fläche von Seitendreieck aus Pkt. 1 = 0,5 * h * s
Fläche von Seitendreieck aus Pkt. 2 = 0,5 * r * t
Da wir s * t = [mm] 4m^2 [/mm] haben, drücken wir t durch s aus:
Fläche von Seitendreieck aus Pkt. 2 = 0,5 * r * [mm] (4m^2 [/mm] / s)
Funktion für die Summe beider Flächen - in Abh. von s:
A(s) = 0,5 * h * s + 0,5 * r * [mm] (4m^2 [/mm] / s)
Dies gibt abgelitten nach s:
A'(s) = 0,5 * h + 0,5 * r * [mm] (4m^2 [/mm] / [mm] s^2)
[/mm]
dies nach 0 gesetzt und nach s aufgelöst gibt:
s = sqrt((r/h) * [mm] 4m^2 [/mm] ) = 0,5m * 2 m = 1m.
Damit ist t = 4m, da s * t = [mm] 4m^2 [/mm] = const.
also ist die Grundseite eines Planendreiecks s + 2 * r + s lang, das sind 4m.
Höhe ist h + t, das sind 8m.
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