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Hallo,
Ich habe eine Funktion, die lautet:
f(a)x = [mm] \bruch{3}{4} [/mm] * (a-x) (x²+4x+4)
nun soll die Funktion auf Extemstellen, in Abhängigkeit von "a" untersucht werden.
-> f(a)´ = [mm] -\bruch{3}{4} [/mm] (3x²+(8-2a)x+4-4a)
-> D= (8-2a)²-4*3(4-4a)
-> D=(2a+4)²
-> D=0 bei {-2}
nun mache ich meine Fallunterscheidung, stelle fest weil D >= 0 ist,
negative Werte nicht in Frage kommen.
a.) wenn D=0 dann habe ich eine doppelte NST, dh. einen Extrempunkt
b.) wenn D>0 dann habe ich zwei relative Extempunkte, d.h
a =Element von allen rellen Zahlen bis auf -2 und +2
c.) für D<0 gibt es keine Definition
stimmt das so?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:02 Mi 18.06.2008 | | Autor: | Bastiane |
Hallo franzzi20!
> Ich habe eine Funktion, die lautet:
>
> f(a)x = [mm]\bruch{3}{4}[/mm] * (a-x) (x²+4x+4)
Wie genau heißt die Funktion: f(a)=... oder f(x)=... oder [mm] f_a(x) [/mm] oder so was? Das ist sehr wichtig, denn meiner Meinung nach bedeutet "in Abhängigkeit von a" untersuchen, dass die Funktion schon f(x)=... heißt und man ganz normal nach x ableiten musst. Was du unten gemacht hast, weiß ich gerade nicht.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:08 Mi 18.06.2008 | | Autor: | franzzi20 |
Sorry,
f a(x)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:24 Mi 18.06.2008 | | Autor: | Bastiane |
Hallo franzzi20!
> Sorry,
>
> f a(x)
Das ist mir immer noch nicht klar. Kannst du es nicht mit dem Formeleditor schreiben!
Viele Grüße
Bastiane
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:30 Mi 18.06.2008 | | Autor: | maddhe |
das sieht richtig aus! bei -2 liegt immer ein extremum vor (außer für a=-2, d.h. D=0, dann liegt dort ein sattelpunkt!)
der andere extrempunkt liegt bei [mm] \frac{2}{3}(a-1) [/mm] (außer wieder für a=-2), damit ist deine Abschätzung der Diskriminante für >0 richtig bis auf a=2, warum sollte a nicht 2 sein dürfen?!
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Danke für deine Bearbeitung,
"a" darf natürlich 2 sein. -> Danke
wenn also D=0 ist, dann handelt es sich um eine doppelte NST, also einem Sattelpunkt und somit wäre meine ursprüngliche Aussage es wäre ein Extrempunkt - falsch, oder?
Muss ich mir in diesem Fall D=0 den Verlauf wie eine Stufe vorstellen -> also Monotonie, oder?
Gruss
Janosch
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 Mi 18.06.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du sollst deine Funktion
[mm] f_{a}(x)=\bruch{3}{4}*(a-x)(x²+4x+4)
[/mm]
[mm] =\bruch{3}{4}(ax²+4ax+4a-x³-4x²-4x)
[/mm]
[mm] =\bruch{3}{4}(-x³+(a-4)x²+(4a-4)x)
[/mm]
[mm] =-\bruch{3}{4}x³+\left(\bruch{3}{4}a-3\right)x²+\left(3a-3\right)x
[/mm]
Nach Extremstellen untersuchen, richtig?
Also:
[mm] f_{a}'(x)=-\bruch{9}{4}x²+\left(\bruch{6}{4}a-6\right)x+\left(3a-3\right)
[/mm]
[mm] =-\bruch{9}{4}x²+\left(\bruch{3}{2}a-6\right)x+\left(3a-3\right)
[/mm]
[mm] f_{a}''(x)=-\bruch{9}{2}x+\left(\bruch{3}{2}a-6\right)
[/mm]
Jetzt mal die Bedingungen für einen Extrempunkt:
[mm] f_{a}'(x)=0
[/mm]
[mm] -\bruch{9}{4}x²+\left(\bruch{3}{2}a-6\right)x+\left(3a-3\right)=0
[/mm]
[mm] \gdw x²-\left(\bruch{2}{3}a-\bruch{8}{3}\right)x-\left(\bruch{4}{3}a-\bruch{4}{3}\right)
[/mm]
Und jetzt:
[mm] x_{1;2}=\bruch{\bruch{2}{3}a-\bruch{8}{3}}{2}\pm\wurzel{\bruch{\left(\bruch{2}{3}a-\bruch{8}{3}\right)^{2}}{4}+\left(\bruch{4}{3}a-\bruch{4}{3}\right)}
[/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{2}{3}a-\bruch{8}{3}}{2}\pm\wurzel{\bruch{\left(\bruch{2}{3}a-\bruch{8}{3}\right)^{2}}{4}+\bruch{4*\left(\bruch{4}{3}a-\bruch{4}{3}\right)}{4}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{2}{3}a-\bruch{8}{3}}{2}\pm\wurzel{\bruch{\left(\bruch{2}{3}a-\bruch{8}{3}\right)^{2}+\left(\bruch{16}{3}a-\bruch{16}{3}\right)}{4}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{2}{3}a-\bruch{8}{3}}{2}\pm\bruch{\wurzel{\left(\bruch{2}{3}a-\bruch{8}{3}\right)^{2}+\left(\bruch{16}{3}a-\bruch{16}{3}\right)}}{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{2}{3}a-\bruch{8}{3}}{2}\pm\bruch{\wurzel{\bruch{4}{9}a²-\bruch{32}{9}a+\bruch{16}{9}+\bruch{48}{9}a-\bruch{48}{9}}}{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{2}{3}a-\bruch{8}{3}}{2}\pm\bruch{\wurzel{\bruch{4}{9}a²+\bruch{16}{9}a-\bruch{32}{9}}}{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{2}{3}a-\bruch{8}{3}}{2}\pm\bruch{\wurzel{\bruch{4}{9}a²+\bruch{16}{9}a-\bruch{32}{9}}}{2}
[/mm]
Und jetzt betrachte mal den Wurzelterm:
[mm] \bruch{4}{9}a²+\bruch{16}{9}a-\bruch{32}{9}
[/mm]
Ist dieser >0, gibt es zwei mögliche Extremstellen, nämlich die beiden oben erwähnten [mm] x_{1;2}=\bruch{\bruch{2}{3}a-\bruch{8}{3}}{2}\pm\bruch{\wurzel{\bruch{4}{9}a²+\bruch{16}{9}a-\bruch{32}{9}}}{2}
[/mm]
Ist dieser =0, gibt es nur eine mögliche Extremstelle
[mm] x=\bruch{\bruch{2}{3}a-\bruch{8}{3}}{2}\pm\bruch{\overbrace{\wurzel{\bruch{4}{9}a²+\bruch{16}{9}a-\bruch{32}{9}}}^{=0}}{2}=\bruch{\bruch{2}{3}a-\bruch{8}{3}}{2}
[/mm]
Ist dieser Negativ, so gibt es keinerlei Extremstellen.
Marius
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Hallo Marius,
Danke für deine ausführliche Erläuterung.
Ich war auch der Auffassung dass wenn fa´(x) = 0 ist,
ein Extremwert vorhanden ist, also in diesem Fall
für a = -2.
-> Nun steht in meinem schlauen Lösungsheft jedoch:
Für a = -2 hat f´a(x) eine doppelte Nullstelle und folglich hat f-2(x) keine Extremstelle.
-> Meine Frage ist ob nun eine Sattelpunkt (waagrechte Tangente im Fall a=-2 ) der meinen Graphen charakterisiert, ob der jetzt als Extrempunkt interpretiert werden kann. Eigentlich doch nicht. Denn ein Extrempunkt kann doch nur gegeben sein, sofern ein VZW stattfindet (globales Extremum).. Das hiesse allgemein dass wenn f´(x)=0 [mm] \wedge [/mm] D=0 kein Extrempunkt im Graphen vorhanden ist. Korrigiere mich bitte wenn ich da falsch liege.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:24 Mi 18.06.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo Marius,
> Danke für deine ausführliche Erläuterung.
> Ich war auch der Auffassung dass wenn fa´(x) = 0 ist,
> ein Extremwert vorhanden ist, also in diesem Fall
> für a = -2.
Nicht ganz: Die Nullstellen sind ja gerade die benannten, in Abhängigkeit von a. Löse dich von der Vorstellung, dass du konkrete Extremstellen erhältst.
>
> -> Nun steht in meinem schlauen Lösungsheft jedoch:
> Für a = -2 hat f´a(x) eine doppelte Nullstelle und
> folglich hat f-2(x) keine Extremstelle.
Das stimmt.
[mm] f_{a}(x)=\bruch{3}{4}\cdot{}(a-x)(x²+4x+4)
[/mm]
[mm] =\bruch{3}{4}\cdot{}(a-x)(x+2)²
[/mm]
hat die Nullstellen a und -2(Doppelt) Ist a=-2 gibt es nur eine dreifache Nullstelle, also einen Sattelpunkt.
>
> -> Meine Frage ist ob nun eine Sattelpunkt (waagrechte
> Tangente im Fall a=-2 ) der meinen Graphen charakterisiert,
> ob der jetzt als Extrempunkt interpretiert werden kann.
Berechne dazu mal [mm] f_{2}''(-2)
[/mm]
> Eigentlich doch nicht. Denn ein Extrempunkt kann doch nur
> gegeben sein, sofern ein VZW stattfindet (globales
> Extremum)..
Korrekt, aber hier hast du ja die Extremstellen (In Abhängigkeit von a) gegeben, schau dazu mal in meinen Post.
Sinnvoller wäre hier meiner Meinung nach, die einzig mögliche Nullstelle der zweiten Ableitung (in Abhängigk. von a) zu bestimmen, und die mit den möglichen Extremstellen zu vergleichen. Sind diese unterschiedlich, sind die beiden (bzw die eine) mögliche Extremstelle(n) tatsächlich Extremstellen.
> Das hiesse allgemein dass wenn f´(x)=0 [mm]\wedge[/mm]
> D=0 kein Extrempunkt im Graphen vorhanden ist. Korrigiere
> mich bitte wenn ich da falsch liege.
Nein, siehe meine Antwort.
Betrachte hier mal den Spezialfall a=-2, und ansonsten musst du das allgemein handhaben. Dann entstehen die Extremstellen aus meinem anderen Post, die du dann wie oben beschrieben, noch auf das hinreichend Kriterium [mm] (f_{a}''(x)\ne0) [/mm] überprüfen solltest.
Marius
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