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Forum "Differenzialrechnung" - Extremwertberechnung

Extremwertberechnung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe

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Extremwertberechnung: Lokale Extremwerte

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	15:35 So 21.04.2013
Autor:	anjanuess

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hoffe mir kann hier jemand helfen?
Ich bin duale Studentin und unser Mathematiklehrer kann nicht erklären.
Wir sollen von der Funktion
[mm] y=-2x^2+3x+e^4x [/mm] sowie
[mm] y=4x^2 +(4x^5/2x^4)+3e^4x [/mm] die lokalen Extremwerte berechen.

kann mir das vielleicht jemand erklären wie das funktionier?
Ich bedanke mich schon im voraus.

Bezug

Extremwertberechnung: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	15:49 So 21.04.2013
Autor:	M.Rex

Hallo und

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich hoffe mir kann hier jemand helfen?
> Ich bin duale Studentin und unser Mathematiklehrer kann
> nicht erklären.
> Wir sollen von der Funktion
> [mm]y=-2x^2+3x+e^4x[/mm] sowie
> [mm]y%25253D4x%25255E2%252520%25252B(4x%25255E5%25252F2x%25255E4)%25252B3e%25255E4x[/mm] die lokalen Extremwerte
> berechen.

Forme beide Funktionen zuerst um, zu

[mm]f(x)=-2x^2+3x+e^4x=-2x^2+(3+e^4)\cdot x[/mm]

Nun kannst du ganz normal die Ableitungen bilden, also:
[mm]f'(x)=-4x+(3+e^4)[/mm]
und
[mm]f''(x)%3D-4[/mm]

Mit [mm] f'(x_e)=0, [/mm] also der notwendigen Bedingung für Extrempunkte bekommst du:
[mm] -4x_e+(3+e^4)=0\Leftrightarrow\frac{3+e^{4}}{4}=x_e [/mm]

Da f''(x) hier sogar konstant kleiner als Null ist, hast du an der Stelle [mm] x_e=\frac{3+e^{4}}{4} [/mm] einen Hochpunkt.

Für dessen y-Koordinate gilt:
[mm] $f(x_e)=-2\cdot\left(\frac{3+e^{4}}{4}\right)^{2}+\left(3+e^{4}\right)\cdot\frac{3+e^{4}}{4}$ [/mm]
[mm] $=\frac{-2(3+e^{4})^{2}}{16}+\frac{(3+e^{4})^{2}}{4}$ [/mm]
[mm] $=-\frac{(3+e^{4})^{2}}{8}+\frac{2(3+e^{4})^{2}}{8}$ [/mm]
[mm] $=\frac{(3+e^{4})^{2}}{8}$ [/mm]

Alternativ hättest du hier auch über den Scheitelpunkt der quadratischen Parabel (f(x) ist eine nach unten geöffnete Parabel) argumentieren können.

Versuche Aufgabe b) nun mal selber. Tipp:

[mm] $g(x)=4x^{2}+\frac{4x^{5}}{2x^{4}}+3e^{4}x=4x^{2}+2x+3e^{4}x=4x^{2}+(2+3e^{4})\cdot [/mm] x$

Zu den Grundlagen der Differentialrechnung schau mal, wenn nötig, bei