Extremwerte < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Mi 09.04.2008 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
hätte ne frage zu folgendem beispiel:
[Dateianhang nicht öffentlich]
zu a:
f(x,y)=7*x+5*y
[mm] 49*x^2+25*y^2=1225 [/mm] ---> y=7-1,4*x
das hab ich dann mal eingesetzt und komme auf:
h(x)=35
nur weiß ich jetzt nicht ganz wie ich das interpretieren soll, heisst das jetzt das das der extremwert ist oder gar kein extremwert vorhanden ist? weil die x ja verschwinden.
zu b:
habe für [mm] x=r*cos(\gamma) [/mm] und [mm] y=r*sin(\gamma) [/mm] eingesetzt:
[mm] h(\gamma)=7*r*cos(\gamma)+5*r*sin(\gamma)
[/mm]
muss ich das dann nach [mm] \gamma [/mm] ableiten oder? das wäre dann:
[mm] h'(\gamma)=-7*r*sin(\gamma)+5*r*cos(\gamma)
[/mm]
nur wie mache ich dann da weiter?
zu c
das habe ich über [mm] grad(f)+\lambda_1*grad(g_1)=0 [/mm] gerechnet, da erhalte ich dann 2 gleichungen + die gegebene andbedingung:
[mm] 7+\lambda*98*x=0
[/mm]
[mm] 5+\lambda*50*y=0
[/mm]
[mm] 49*x^2+25*y^2=1225
[/mm]
das habe ich dann aufgelöst und komme auf den punkt: x=-3,57 und y=-5
wenn ich das in die funktion einsetze erhalte ich einen wert: f(-3,57,y=-5)=-50
da habe ich jetzt das problem wie beim ersten, ist das jetz mein extremwert? nur ich weis ja nicht ob das dann ein maximun oder minimum ist oder?
danke
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 Mi 09.04.2008 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
zu a:
hab das jetzt nachgerechnet:
f(x,y)=7*x+5*y
[mm] 49*x^2+25*y^2=1225
[/mm]
--> [mm] y=\wurzel{125-[(49*x^2)/25]}=t
[/mm]
--> h(x)=7*x+5*t
[mm] h_x=7-[(7*x)/(25-x^2)^{1/2}]=0 [/mm] und daraus bekomme ich den punkt: [mm] x=\wurzel{1225/98}
[/mm]
wenn ich das dann in die zweite ableitung von h einsetze komme ich auf einen wert von 49,49 also >0 --> Minimum bei [mm] x=\wurzel{1225/98}
[/mm]
zu b:
da habe ich ja:
[mm] h(\gamma)=7*r*cos(\gamma)+5*r*sin(\gamma)
[/mm]
[mm] h'(\gamma)=-7*r*sin(\gamma)+5*r*cos(\gamma)=0 [/mm]
darausbekomme ich dann den punkt: [mm] \gamma=arctan(5/7)
[/mm]
nur wie mache ich das dann weiter?
zu c:
hab das nochmal nachgerechnet und komme wieder auf x, y und [mm] \lambda [/mm] wenn ich das gleichungssystem auflöse:
x=-3.57
y=-5
[mm] \lambda=0.02 [/mm]
oder muss ich da jetz dievorzeichen ändern das ich auf den zweiten punkt komme?
also:
x=3.57
y=5
[mm] \lambda=-0.02
[/mm]
bei x=-3,57 und y=-5 eingesetzt in de funktion bekomme ich -50 herraus
bei x=3,57 und y=5 dann +50.
+50 wäre der gleiche wert wie durch methode b, nur warum muss ich da dann die vorzeichen vertauschen?
danke!
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Hallo Dagobert,
> hallo!
>
> zu a:
>
> hab das jetzt nachgerechnet:
>
> f(x,y)=7*x+5*y
>
> [mm]49*x^2+25*y^2=1225[/mm]
>
> --> [mm]y=\wurzel{125-[(49*x^2)/25]}=t[/mm]
>
> --> h(x)=7*x+5*t
>
> [mm]h_x=7-[(7*x)/(25-x^2)^{1/2}]=0[/mm] und daraus bekomme ich den
> punkt: [mm]x=\wurzel{1225/98}[/mm]
Die Ableitung muß doch lauten:
[mm]h_x=7\red{+}[(7*x)/(25-x^2)^{1/2}]=0[/mm]
>
> wenn ich das dann in die zweite ableitung von h einsetze
> komme ich auf einen wert von 49,49 also >0 --> Minimum bei
> [mm]x=\wurzel{1225/98}[/mm]
>
>
> zu b:
>
> da habe ich ja:
>
> [mm]h(\gamma)=7*r*cos(\gamma)+5*r*sin(\gamma)[/mm]
>
> [mm]h'(\gamma)=-7*r*sin(\gamma)+5*r*cos(\gamma)=0[/mm]
>
> darausbekomme ich dann den punkt: [mm]\gamma=arctan(5/7)[/mm]
Hier hast Du mögliche Lösungen unterschlagen:
[mm]h'(\gamma)=-7*r*sin(\gamma)+5*r*cos(\gamma)=0[/mm]
[mm]\gdw \cos\left(\gamma\right)*\left(-7*\tan\left(\gamma\right)+5\right)=0[/mm]
[mm]\Rightarrow \cos\left(\gamma\right)=0 \vee -7*\tan\left(\gamma\right)+5=0[/mm]
Ausserdem gibt es hier noch weitere Lösungen, wenn man den ganzen Winkelbereich berücksichtigt ([mm]\gamma \in \left[0,2\pi\right[[/mm]).
Demnach ist auch [mm]\gamma = \arctan\left(\bruch{5}{7}\right)+\pi[/mm] eine Lösung.
>
> nur wie mache ich das dann weiter?
Untersuche dann mit Hilfe von [mm]h''\left(\gamma\right)[/mm] auf die Art des Extremums.
>
>
> zu c:
>
> hab das nochmal nachgerechnet und komme wieder auf x, y und
> [mm]\lambda[/mm] wenn ich das gleichungssystem auflöse:
>
> x=-3.57
> y=-5
> [mm]\lambda=0.02[/mm]
Da musst Du schon mit exakten Werten rechnen.
>
> oder muss ich da jetz dievorzeichen ändern das ich auf den
> zweiten punkt komme?
>
> also:
> x=3.57
> y=5
> [mm]\lambda=-0.02[/mm]
[mm]x=\bruch{5}{\wurzel{2}}, \ y=\bruch{7}{\wurzel{2}}, \ \lambda=-\bruch{\wurzel{2}}{70}[/mm]
>
> bei x=-3,57 und y=-5 eingesetzt in de funktion bekomme ich
> -50 herraus
[mm]x=-\bruch{5}{\wurzel{2}}, \ y=-\bruch{7}{\wurzel{2}}, \ \lambda=\bruch{\wurzel{2}}{70}[/mm]
Da kommt dann heraus: [mm]-\bruch{70}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> bei x=3,57 und y=5 dann +50.
Da kommt dann heraus: [mm]+\bruch{70}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> +50 wäre der gleiche wert wie durch methode b, nur warum
> muss ich da dann die vorzeichen vertauschen?
>
> danke!
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Do 10.04.2008 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
zu a:
aber ich hab doch dann bei der wurzel von der inneren ableitung das minus oder?
zu b:
also hab ich dann die lösungen:
[mm] \gamma=90
[/mm]
[mm] \gamma=270
[/mm]
[mm] \gamma=arctan(5/7)
[/mm]
[mm] \gamma=arctan(5/7)+\pi
[/mm]
oder?
und das mus ich dann in die zweite ableitung einsetzen oder?
also in: [mm] h''(x)=-7*r*cos(\gamma)-5*r*sin(\gamma)
[/mm]
nur wie mache ich das mit dem r?
danke!
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Hallo Dagobert,
> hallo!
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> zu a:
>
> aber ich hab doch dann bei der wurzel von der inneren
> ableitung das minus oder?
Im Fall, daß [mm]y=+\bruch{7}{5}*\wurzel{25-x^{2}}[/mm] stimmt Deine bisherige Ableitung.
Auch hier gibt es noch eine zweite Lösung für y: [mm]y=-\bruch{7}{5}*\wurzel{25-x^{2}}[/mm]
>
> zu b:
>
> also hab ich dann die lösungen:
>
> [mm]\gamma=90[/mm]
> [mm]\gamma=270[/mm]
> [mm]\gamma=arctan(5/7)[/mm]
> [mm]\gamma=arctan(5/7)+\pi[/mm]
>
> oder?
>
> und das mus ich dann in die zweite ableitung einsetzen
> oder?
> also in: [mm]h''(x)=-7*r*cos(\gamma)-5*r*sin(\gamma)[/mm]
Ja.
>
> nur wie mache ich das mit dem r?
Das r läßt sich aus der Nebenbedingung ermitteln.
>
> danke!
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Do 10.04.2008 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
zu b:
hab die punke mal eingesetzt und komme auf folgende lsg:
h''(90)=-175
h''(270)=175
h''(arctan(7/5))=-301
h''(arctan(7/5)+pi)=301
nur irgendwie sind das jetzt ganz andere punkte wie bei c? sollte da nicht das gleiche herrauskommen?
zu a:
hab das jetzt nochmal gerechnet und irgendwie stimmt da was nicht
habe ja:
f(x,y)=7*x+5*y
[mm] 49\cdot{}x^2+25\cdot{}y^2=1225 [/mm]
--> $ [mm] y=\wurzel{125-[(49\cdot{}x^2)/25]}=t [/mm] $
--> h(x)=7*x+5*t
[mm] h_x=7-[(7\cdot{}x)/(25-x^2)^{1/2}]=0 [/mm] und daraus bekomme ich den punkt: [mm] x=\wurzel{1225/98} [/mm] stimmt das so? weil wenn ich das in die zweite einsetze habe ich vorher 49, 49 rausbekommen und für den zweiten punkt, also das negative -49,49. also das gleiche wie bei c. nur jetzt komme ich nicht mehr auf den wert wenn ich den punkt x in die zweite ableitung einsetze?
danke
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Hallo Dagobert,
> hallo!
>
> zu b:
>
> hab die punke mal eingesetzt und komme auf folgende lsg:
>
> h''(90)=-175
> h''(270)=175
>
> h''(arctan(7/5))=-301
> h''(arctan(7/5)+pi)=301
>
> nur irgendwie sind das jetzt ganz andere punkte wie bei c?
> sollte da nicht das gleiche herrauskommen?
Das sollte das gleiche herauskommen.
Ich kenne jetzt den Grund, weshalb das so ist, es ist die Parameterdarstellung.
Wir haben ja als Nebenbedingung
[mm]49*x^{2}+25*y^2=1225[/mm]
Soll dies einer Kreisgleichung genügen, so muß
[mm]\left(r*\cos\left(\gamma\right)\right)^{2}+\left(r*\sin\left(\gamma\right)\right)^{2}=r^{2}[/mm]
erfüllt sein.
Das geht nur wenn,
[mm]7*x=r*\cos\left(\gamma\right)[/mm]
[mm]5*y=r*\sin\left(\gamma\right)[/mm]
mit [mm]r=\wurzel{1225}=35[/mm]
[mm]\Rightarrow x=5*\cos\left(\gamma\right), \ y=7*\sin\left(\gamma\right)[/mm]
Damit wird
[mm]f\left(x,y\right)=7*x+5*y=7*5*\cos\left(\gamma\right)+5*7*\sin\left(\gamma\right)=35*\left(\cos\left(\gamma\right)+\sin\left(\gamma\right)\right)=h\left(\gamma\right)[/mm]
[mm]h\left(\gamma\right)[/mm] läßt sich noch anders schreiben:
[mm]h\left(\gamma\right)=A*\sin\left(\gamma+\varphi\right)=35*\cos\left(\gamma\right)+35*\sin\left(\gamma\right)[/mm]
[mm]A*\sin\left(\gamma+\varphi\right)=A*\sin\left(\gamma\right)*\cos\left(\varphi\right)+A*\cos\left(\gamma\right)*\sin\left(\varphi\right)=35*\cos\left(\gamma\right)+35*\sin\left(\gamma\right)[/mm]
Ein Koeffizientenvergleich ergibt:
[mm]A*\cos\left(\varphi\right)=35[/mm]
[mm]A*\sin\left(\varphi\right)=35[/mm]
[mm]\Rightarrow A=35*\wurzel{2}, \ \varphi=\bruch{\pi}{4}[/mm]
[mm]h\left(\gamma\right)= 35*\wurzel{2}*\sin\left(\gamma+\bruch{\pi}{4}\right)[/mm]
Dann passt das auch mit den Extremwerten:
[mm]h'\left(\gamma\right)=35*\wurzel{2}*\cos\left(\gamma+\bruch{\pi}{4}\right)=0[/mm]
[mm]\Rightarrow \gamma+\bruch{\pi}{4}=\bruch{2k+1}{2}*\pi, k=0,\ 1[/mm]
[mm]\gdw \gamma=\bruch{2k+1}{2}*\pi-\bruch{\pi}{4}=\bruch{4k+1}{4}*\pi, k=0, \ 1[/mm]
[mm]\Rightarrow x_{k}=x=5*\cos\left(\bruch{4k+1}{4}*\pi\right)=\left(-1\right)^{k}*\bruch{5*\wurzel{2}}{2}, \ k=0, \ 1[/mm]
[mm]y_{k}=x=7*\sin\left(\bruch{4k+1}{4}*\pi\right)=\left(-1\right)^{k}*\bruch{7*\wurzel{2}}{2},\ k=0, \ 1[/mm]
[mm]h''\left(\gamma\right)=-35*\wurzel{2}*\sin\left(\gamma+\bruch{\pi}{4}\right)=-h\left(\gamma\right)[/mm]
Dann ist [mm]h''\left(\bruch{4k+1}{4}*\pi\right)=-h\left(\bruch{4k+1}{4}*\pi\right)[/mm]
[mm]=-35*\wurzel{2}*\sin\left(\bruch{4k+1}{4}*\pi+\bruch{\pi}{4}\right)=-35*\wurzel{2}*\sin\left(\bruch{4k+2}{4}*\pi\right)[/mm]
[mm]=-35*\wurzel{2}*\sin\left(\bruch{2k+1}{2}*\pi\right)=-35*\wurzel{2}*\left(-1\right)^{k}=\left(-1\right)^{k+1}*35*\wurzel{2}, \ k=0, \ 1[/mm]
Natürlich kannst Du auch die ganze Untersuchung mit
[mm]h\left(\gamma\right)=35*\left(\cos\left(\gamma\right)+\sin\left(\gamma\right)\right)[/mm]
durchführen.
>
> zu a:
>
> hab das jetzt nochmal gerechnet und irgendwie stimmt da was
> nicht
>
> habe ja:
>
> f(x,y)=7*x+5*y
>
> [mm]49\cdot{}x^2+25\cdot{}y^2=1225[/mm]
>
> --> [mm]y=\wurzel{125-[(49\cdot{}x^2)/25]}=t[/mm]
>
> --> h(x)=7*x+5*t
>
> [mm]h_x=7-[(7\cdot{}x)/(25-x^2)^{1/2}]=0[/mm] und daraus bekomme ich
> den punkt: [mm]x=\wurzel{1225/98}[/mm] stimmt das so? weil wenn ich
Ja.
[mm]x=\wurzel{\bruch{1225}{98}}=\bruch{5}{\wurzel{2}}[/mm]
> das in die zweite einsetze habe ich vorher 49, 49
> rausbekommen und für den zweiten punkt, also das negative
> -49,49. also das gleiche wie bei c. nur jetzt komme ich
> nicht mehr auf den wert wenn ich den punkt x in die zweite
> ableitung einsetze?
Den Punkt [mm]x=\bruch{5}{\wurzel{2}}[/mm] hast Du in
[mm]7*x+7*\wurzel{25-x^{2}}[/mm]
eingesetzt.
Dann kommt bei mir heraus:
[mm]7*\bruch{5}{\wurzel{2}}+7*\wurzel{25-\left(\bruch{5}{\wurzel{2}}\right)^{2}}=\bruch{70}{\wurzel{2}}=49.49 \dots[/mm]
Den Punkt [mm]x=-\bruch{5}{\wurzel{2}}[/mm] hast Du in
[mm]7*x-7*\wurzel{25-x^{2}}[/mm]
eingesetzt.
Dann kommt bei mir heraus:
[mm]-7*\bruch{5}{\wurzel{2}}-7*\wurzel{25-\left(-\bruch{5}{\wurzel{2}}\right)^{2}}=-\bruch{70}{\wurzel{2}}=-49.49 \dots[/mm]
Wenn ich diese Punkte in die zugehörige 2. Ableitung einsetze, dann erhalte ich [mm]x=\pm \bruch{5}{\wurzel{2}}[/mm] als Wert [mm]\mp \bruch{14*\wurzel{2}}{5}=\mp 3.95\dots[/mm]
>
> danke
Gruß
MathePower
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
