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Hallo zusammen. Ich wollte mal schnell fragen, ob ihr mir bei einer AUfgabe zu Extremwerten helfen könntet?
[mm] f:]-\bruch{1}{2},1] \to \IR [/mm] , [mm] f(x)=x^3e^{-x} [/mm] soll auf lokale und globale Extrema untersucht werden.
zu den lokalen:
zunächst bilde ich die 1. und 2. Ableitung:
[mm] f'(x)=3x^2e^{-x}-x^3e^{-x}
[/mm]
[mm] f''(x)=6xe^{-x}+3x^2e^{-x}-3x^2e^{-x}+x^3e^{-x}=6xe^{-x}+x^3e^{-x}
[/mm]
Nun muss ja gelten für lokale Extrema gelten: [mm] f'(x_i)=0 [/mm] und [mm] f''(x_i)\not=0. [/mm] D.h. ich suche nun die Nullstellen zur 1. Ableitung. Ich finde:
[mm] x_0=0, x_1=3
[/mm]
Da sich [mm] x_1=3 [/mm] aber nicht im zu betrachtenden Intervall befindet, bleibt einzig und allein [mm] x_0=0 [/mm] in f''(x) einzusetzen.
[mm] \Rightarrow [/mm] f''(0)=0. Von daher gibt es hier keine lokalen Extrema. Nun betrachte ich doch aber noch den Grenzwert von f(x) an den Rändern des Intervalls oder??? Lasse ich hierfür den Limes gegen unendlich laufen oder gegen die Intervallgrenzen???
MFG domenigge135
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:10 Mi 02.07.2008 | | Autor: | Floid |
ich meine du untersuchst den limes an den rändern (nich [mm] \pm \infty) [/mm] und ich würde untersuchen ob x=0 ein Sattelpunkt ist.
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> Hallo zusammen. Ich wollte mal schnell fragen, ob ihr mir
> bei einer AUfgabe zu Extremwerten helfen könntet?
>
> [mm]f:]-\bruch{1}{2},1] \to \IR[/mm] , [mm]f(x)=x^3e^{-x}[/mm] soll auf
> lokale und globale Extrema untersucht werden.
>
> zu den lokalen:
> zunächst bilde ich die 1. und 2. Ableitung:
> [mm]f'(x)=3x^2e^{-x}-x^3e^{-x}[/mm]
>
> [mm]f''(x)=6xe^{-x}+3x^2e^{-x}-3x^2e^{-x}+x^3e^{-x}=6xe^{-x}+x^3e^{-x}[/mm]
>
> Nun muss ja gelten für lokale Extrema gelten: [mm]f'(x_i)=0[/mm] und
> [mm]f''(x_i)\not=0.[/mm] D.h. ich suche nun die Nullstellen zur 1.
> Ableitung. Ich finde:
> [mm]x_0=0, x_1=3[/mm]
> Da sich [mm]x_1=3[/mm] aber nicht im zu betrachtenden
> Intervall befindet, bleibt einzig und allein [mm]x_0=0[/mm] in
> f''(x) einzusetzen.
> [mm]\Rightarrow[/mm] f''(0)=0. Von daher gibt es hier keine lokalen
> Extrema.
Hallo,
das kannst Du allein hieraus nicht schließen, wie Du auch siehst, wenn Du Dir die Funktion g(x)=x^4anschaust.
Um Gewißheit zu haben, könntest Du entweder noch die dritte Ableitung anschauen, oder Du untersuchst die erste Ableitung daraufhin, ob sie an der Stelle x=0 ihr Vorzeichen wechselt.
> Nun betrachte ich doch aber noch den Grenzwert von
> f(x) an den Rändern des Intervalls oder??? Lasse ich
> hierfür den Limes gegen unendlich laufen oder gegen die
> Intervallgrenzen???
Gegen die Intervallgrenzen. Denn die interessieren Dich heute.
Gruß v. Angela
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Also gut ich bekomme jetzt irgendwie folgendes raus.
[mm] \limes_{x\rightarrow-\bruch{1}{2}}x^3e^{-x}=f(-\bruch{1}{2})
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow1}x^3e^{-x}=f(1)
[/mm]
Da die Grenzwerte an den Randpunkten also gleich den Funktionswerten sind an den Randpunkten sind, gibt es hier globale Extremwerte.
Wäre das so richtig???
MFG domenigge135
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Hiho,
nein, du weisst nicht, was an den Rändern passiert, da du ja deine Kritische Stelle noch nicht klassifiziert hast.
Wenn du schon vergleichen willst, musst du schon alle drei Funktionswerte vergleichen.
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Also gut lasl uns das mal bitte an einem Beispiel probieren.
Untersuche die Fkt. f:[-1,1] [mm] \to \IR, f(x)=x\wurzel{1-x^2} [/mm] auf lokale und globale Extrema.
[mm] f(x)=x\wurzel{1-x^2}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1-2x^2}{\wurzel{1-x^2}}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{2x^3-3x}{\wurzel{(1-x^2)^3}}
[/mm]
Die Ableitungen sollten richtig sein habe diese über ein tool kontrolliert.+
Ich mache mich nun an die lokalen Extrema ran:
Nullstellen der ersten Ableitung sind: [mm] x_1,_2=\pm\bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
[mm] f''(\bruch{1}{\wurzel{2}})<0
[/mm]
[mm] f''(-\bruch{1}{\wurzel{2}})>0
[/mm]
ALso lok. Max. bei [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] und lok. Min. bei [mm] -\bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
Und jetzt mein letztes Problem zu den lokalen Extrema: Das Grenzwertverhalten der beiden Intervallgrenzen.
Angela sagt ich lasse nun den limes gegen die Intervallgrenzen gehen. Also [mm] \limes_{x\rightarrow\ -1}f(x),\limes_{x\rightarrow\ 1}f(x)
[/mm]
Aber was kann ich jetzt daraus schließen??? Ich würde sagen das geht gegen 0. Werde daraus nicht so richtig schlau...
MFG domenigge135
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> Also gut lasl uns das mal bitte an einem Beispiel
> probieren.
>
> Untersuche die Fkt. f:[-1,1] [mm]\to \IR, f(x)=x\wurzel{1-x^2}[/mm]
> auf lokale und globale Extrema.
> [mm]f(x)=x\wurzel{1-x^2}[/mm]
> [mm]f'(x)=\bruch{1-2x^2}{\wurzel{1-x^2}}[/mm]
> [mm]f''(x)=\bruch{2x^3-3x}{\wurzel{(1-x^2)^3}}[/mm]
> Die Ableitungen sollten richtig sein habe diese über ein
> tool kontrolliert.+
>
> Ich mache mich nun an die lokalen Extrema ran:
> Nullstellen der ersten Ableitung sind:
> [mm]x_1,_2=\pm\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
> [mm]f''(\bruch{1}{\wurzel{2}})<0[/mm]
> [mm]f''(-\bruch{1}{\wurzel{2}})>0[/mm]
> ALso lok. Max. bei [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] und lok. Min. bei
> [mm]-\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> Und jetzt mein letztes Problem zu den lokalen Extrema: Das
> Grenzwertverhalten der beiden Intervallgrenzen.
>
> Angela sagt ich lasse nun den limes gegen die
> Intervallgrenzen gehen. Also [mm]\limes_{x\rightarrow\ -1}f(x),\limes_{x\rightarrow\ 1}f(x)[/mm]
>
> Aber was kann ich jetzt daraus schließen??? Ich würde sagen
> das geht gegen 0. Werde daraus nicht so richtig schlau...
Hallo,
weißt jetzt, daß die Funktionswerte in den Randpunkten beide =0 sind, und wenn Du das jetzt mit den Funktionswerten in den von Dir errechneten Extrempunkten im Innern Deines Intervalls vergleichst, weißt Du, welches die globalen Extrema der Funktion sind.
Gruß v. Angela
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Das mit den globalen Extrema ist mir ja klar. Es geht doch hierbei ausschließlich um die lokalen Extrema und da heißt es ja, dass zusätzlich noch das Grenzwertverhalten in den Randpunkten des Intervalls berechnet werden muss. Wo gegen streben aber diese Grenzwerte für [mm] \limes_{x\rightarrow\ -1}x\wurzel{1-x^2} [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow\ 1}x\wurzel{1-x^2}. [/mm] Wenn ich das betrachte, dann setze ich ja [mm] \pm [/mm] 1 ein in meine Funktion erhalte aber 0 während jmd. anderes bei dieser Grenzwertbetrachtung [mm] -\infty [/mm] erhält. Das kapier ich nicht
MFG domenigge135
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> Wo gegen
> streben aber diese Grenzwerte für [mm]\limes_{x\rightarrow\ -1}x\wurzel{1-x^2}[/mm]
> und [mm]\limes_{x\rightarrow\ 1}x\wurzel{1-x^2}.[/mm] Wenn ich das
> betrachte, dann setze ich ja [mm]\pm[/mm] 1 ein in meine Funktion
> erhalte aber 0 während jmd. anderes bei dieser
> Grenzwertbetrachtung [mm]-\infty[/mm] erhält. Das kapier ich nicht
Hallo,
wie dieser andere das macht, kapiere ich auch nicht.
Hier ist es so, daß die Grenzwerte beide =0 sind. Steigkeit erstaunt es wenig, daß dies auch der Funktionswert ist. Mit unendlich ist da nix.
Nun muß man natürlich noch herausfinden, ob man an den Rändern Minima oder Maxima hat. Na, da guckt man halt, ob die Funktionswerte daneben größer oder kleiner sind.
Gruß v. Angela
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