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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = [mm] sin(2\wurzel{x}+1)+1.
[/mm]
c)Weisen Sie nach, dass f unendlich viele Extremwerte hat und diese 0 und 2 sind. |
Hallo Zusammen,
f'(x) = 0 für [mm] cos(2\wurzel{x}+1) [/mm] = 0. Das verstehe ich auch. Dann steht aber im Lösungsbuch : also für [mm] 2\wurzel{x}+1 [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] + [mm] k\pi [/mm] mit k [mm] \in \IN. [/mm] Wie kommt man auf die rechte Seite dieser Gleichung?
Daraus ergibt sich laut Lösungsbuch: [mm] x_{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}*(\bruch{\pi}{2} [/mm] + [mm] k\pi [/mm] -1)² mit k [mm] \in \IN. [/mm] Muss die Gleichung aber nicht richtigweiser so lauten: [mm] x_{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*(\bruch{\pi}{2} [/mm] + [mm] k\pi [/mm] -1)²?
Ich hoffe jemand kann mir die beiden Fragen beantworten!
Mit freundlichem Gruß
matherein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:50 Sa 06.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Gegeben ist die Funktion f mit f(x) =
> [mm]sin(2\wurzel{x}+1)+1.[/mm]
> c)Weisen Sie nach, dass f unendlich viele Extremwerte hat
> und diese 0 und 2 sind.
> Hallo Zusammen,
>
> f'(x) = 0 für [mm]cos(2\wurzel{x}+1)[/mm] = 0. Das verstehe ich
> auch. Dann steht aber im Lösungsbuch : also für
> [mm]2\wurzel{x}+1[/mm] = [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] + [mm]k\pi[/mm] mit k [mm]\in \IN.[/mm] Wie
> kommt man auf die rechte Seite dieser Gleichung?
Hallo,
schau dir die Funktion y=cos x und ihre Nullstellen an. Die Nullstellen der Kosinusfunktion liegen (jetzt mal nur im positiven Bereich) bei [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm],
[mm]\bruch{3\pi}{2}[/mm], [mm]\bruch{5\pi}{2}[/mm] usw., also immer im Abstand [mm] \pi. [/mm] Das wird allgemein ausgedrücht durch [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] + [mm]k\pi[/mm].
Wenn nun f'(x) = [mm]cos(2\wurzel{x}+1)[/mm] = 0 sein soll, wird also nach den Nullstellen von [mm]cos(2\wurzel{x}+1)[/mm] gefragt (und die liegen genau dann vor, wenn [mm]cos(2\wurzel{x}+1)[/mm] den Wert [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] oder
[mm]\bruch{3\pi}{2}[/mm] oder [mm]\bruch{5\pi}{2}[/mm] usw. annimmt.
> Daraus ergibt sich laut Lösungsbuch: [mm]x_{k}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{4}*(\bruch{\pi}{2}[/mm] + [mm]k\pi[/mm] -1)² mit k [mm]\in \IN.[/mm]
> Muss die Gleichung aber nicht richtigweiser so lauten:
> [mm]x_{k}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}*(\bruch{\pi}{2}[/mm] + [mm]k\pi[/mm] -1)²?
>
Nein. Umstellen von
[mm]2\wurzel{x}+1[/mm] = [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] + [mm]k\pi[/mm]
liefert [mm] \wurzel{x}=\bruch{1}{2}*(\bruch{\pi}{2} [/mm] + [mm]k\pi[/mm] -1).
Wenn du das quadrierst, musst du auch den Faktor [mm] \bruch{1}{2} [/mm] quadrieren.
Gruß Abakus
> Ich hoffe jemand kann mir die beiden Fragen beantworten!
>
> Mit freundlichem Gruß
> matherein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:51 Sa 06.06.2009 | | Autor: | matherein |
Hallo Abakus,
danke für die verständliche Antwort!
matherein
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