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Extremwerte: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:37 Do 02.06.2005
Autor: Phobos

Hallo. Ich habe Probleme mit folgender Aufgabe:

Es sei [mm] a_k \in \IR^n [/mm] und g: [mm] \IR^n [/mm] -> [mm] \IR [/mm] sei definiert durch g(x) = [mm] \summe_{k=1}^{p} \parallel x-a_k\parallel^2 [/mm] , wobei [mm] \parallel *\parallel [/mm] die euklidische Norm bezeichne. Zeigen sie, daß g ein globales Minimum besitzt und berechnen sie die Stelle, an der es angenommen wird.

Klingt ja eigentlich nicht so kompliziert. Ich dachte ich leite mal fröhlich ab und schau nach wo die Ableitung null ist:
g'(x) = [mm] \summe_{k=1}^{p} 2\parallel x-a_k\parallel [/mm]
Tja. Wird leider nirgendwo null. Wo ist mein denkfehler? Kann ich das vielleicht nicht so ableiten?
Und gilt [mm] \summe_{k=1}^{p} \parallel x-a_k\parallel^2 [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{p} \summe_{i=1}^{n} |x_i-a_k_i|^2 [/mm] ?

        
Bezug
Extremwerte: globales minimum
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:41 Fr 03.06.2005
Autor: RePete

Hallo Phobos,

wenn ich mich recht entsinne muß ein globales Minimum nicht unbedingt eine lokales Minimum sein. Globales Minimum bezeichnet nur den kleinsten Funktionswert den eine Funktion in einem Intervall oder auch in ihrem Definitionsbereich besitzt. Vielleicht solltest du da nochmal ansetzen. Mit einer konkreten Lösung kann ich dir heute Abend leider auch nicht weiter helfen. Aber vielleicht hab ich am Wochenende nochmal Zeit...

mfG Peter

Bezug
                
Bezug
Extremwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:25 Fr 03.06.2005
Autor: Phobos

Hm. Gute Idee. Wie bei f(x)=|x|. Hat ja auch kein Minimum in (0,0), aber trotzdem den kleinsten Funktionswert.

Bezug
        
Bezug
Extremwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:07 Fr 03.06.2005
Autor: banachella

Hallo!

Du solltest benutzen, das [mm] $\bruch{\partial}{\partial x_j}\summe_{k=1}^p \|x-a_k\|^2=2\summe_{k=1}^p(x_j-a_{kj})$ [/mm] ist...
Als Ableitung bekommst du keine Funktion von [mm] $\IR^n$ [/mm] nach [mm] $\IR$, [/mm] sondern eine Funktion von [mm] $\IR^n$ [/mm] nach [mm] $\IR^n$. [/mm] Anders ausgedrückt: Deine gesuchte Ableitung ist ein Vektor...

Gruß, banachella

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