Extremwerte + totale Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 Mi 29.08.2007 | | Autor: | makw |
| Aufgabe | M [mm] \subset R^{n}, [/mm] f:M->R stetig. Sei a [mm] \in [/mm] M.
a ist ein relatives Extremum, wenn es eine offene Umgebung U gibt, so dass f(a)>f(x) oder f(a)<f(x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \cap [/mm] U. |
Nun habe ich Probleme im Verstaendnis dieser Definition oder anderen aus den Buechern, die sich mit Extremwerte und Maxima und Minima beschaeftigen. Kann jemand anhand eines einfaches Beispieles erklaeren, wie ich solche Punkte berechnen kann? Wenn es irgentwie geht, ein Beispiel fuer die totale Ableitung waere auch gut oder wenigstens eine Anleitung.
Vielen Dank im Voraus, vielen Dank.
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Hallo, makw!
Dann gebe ich dir mal ein einfaches Beispiel $f(x,y) = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2$. [/mm] Die Funktion ist offensichtlich stetig und hat ein striktes lokales Minimum im Ursprung des Koordinatensystems. Dann wollen wir das auch einmal nachrechnen. Das funktioniert fast genauso wie im Eindimensionalen.
Als erstes brauchen wir die Ableitung, den sogenannten Gradienten. Dazu bestimmt's du einfach die partiellen Ableitungen der Funktion
[mm] $$\frac{\partial f}{\partial x} [/mm] (x,y) = 2x [mm] \quad \frac{\partial f}{\partial y} [/mm] (x,y) = 2y$$
Da die partiellen Ableitungen stetig(!) sind, haben wir auch schon die totale Ableitung gefunden
[mm] $$\nabla [/mm] f(x,y) = (2x, 2y)$$
Nun suchen wir unsere kritischen Punkte: Eine notwendige Bedingung für ein lokales Extrema ist [mm] $\nabla [/mm] f(x,y) = (0,0)$. Es kommt also nur der Nullpunkt in Frage. Nun müssen wir noch wie im eindimensionalen die hinreichende Bedingung zu Rate ziehen. Dazu brauchen wir die zweiten partiellen Ableitungen.
[mm] $$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} [/mm] (x,y) = 2 [mm] \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} [/mm] (x,y) = 0 [mm] \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} [/mm] (x,y) = 0 [mm] \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} [/mm] (x,y) = 2$$
Damit lautet die Hessematrix am Ursprung
$$Hess f(0,0) = [mm] \begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$
[/mm]
Diese ist offensichtlich postiv definit (Analog zu [mm] $f'(x_0) [/mm] > 0$). Damit ist die hinreichende Bedingung erfüllt und es liegt ein Minimum im Ursprung vor (in diesem Beispiel kannst du sogar jede Umgebung um den Ursprung wählen).
Ich hoffe, das hilft ein wenig weiter!
Gruß!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:59 Do 06.09.2007 | | Autor: | makw |
danke
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