Extremwerte Bestimmen < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 Mo 17.11.2008 | | Autor: | mucki.l |
| Aufgabe | Bestimmen Sie extrema und wendepunkte!
$ f(x) = [mm] \bruch{x^{2} + 2x + 1}{x^{2}4} [/mm] $ |
$ f(x) = [mm] \bruch{x^{2} + 2x + 1}{x^{2}4} [/mm] $
[mm] u(x)=x^{2} [/mm] + 2x + 1
$ u'(x)=2x+2 $
[mm] v(x)=x^{2}4
[/mm]
$ v'(x)=2x $
[mm] f'(x)=\bruch{(2x+2)(x^{2}-4)-(x^{2}+2x+1)2x}{(x^{2}-4)^{2}}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{-2x^{2}-10x-8}{(x^{2}-4)^{2}}
[/mm]
[mm] u(x)=-2x^{2}-10x-8
[/mm]
$ u'(x)=-4x-10 $
[mm] v(x)=(x^{2}-4)^{2}
[/mm]
$ [mm] v'(x)=2(x^{2}-4)2x=4x(x^{2}-4) [/mm] $
[mm] f''(x)=\bruch{(-4x-10)(x^{2}-4)^{2}-(-2x^{2}-10-8)(4x(x^{2}-4))}{(x^{2}-4)^{4}}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{(x^{2}-4)[(-4x-10)(x^{2}-4)-(-2x^{2}-10x-8)4x]}{(x^{2}-4)^{4}}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{4x^{3}+30x^{2}+48x+40}{x^{3}}
[/mm]
Ist meine 2te Ableitung richtig ?
Sonst bruache ich noch keinen Wendepunkt berechnen.
[mm] 0=-2x^{2}-10x-8
[/mm]
[mm] 0=x^{2}+5x+4
[/mm]
[mm] x_{1}=-1 [/mm] Hochpunkt
[mm] x_{2}=-4 [/mm] Tiefpunkt
f(-1)=0
f(-4)=0,75
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Mo 17.11.2008 | | Autor: | mucki.l |
| Aufgabe | Bestimmen Sie extrema und wendepunkte!
$ f(x) = [mm] \bruch{x^{2} + 2x + 1}{x^{2}-4} [/mm] $
|
$ f(x) = [mm] \bruch{x^{2} + 2x + 1}{x^{2}-4} [/mm] $
[mm] u(x)=x^{2} [/mm] + 2x + 1
$ u'(x)=2x+2 $
[mm] v(x)=x^{2}-4
[/mm]
$ v'(x)=2x $
[mm] f'(x)=\bruch{(2x+2)(x^{2}-4)-(x^{2}+2x+1)2x}{(x^{2}-4)^{2}}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{-2x^{2}-10x-8}{(x^{2}-4)^{2}}
[/mm]
[mm] u(x)=-2x^{2}-10x-8
[/mm]
$ u'(x)=-4x-10 $
[mm] v(x)=(x^{2}-4)^{2}
[/mm]
$ [mm] v'(x)=2(x^{2}-4)2x=4x(x^{2}-4) [/mm] $
[mm] f''(x)=\bruch{(-4x-10)(x^{2}-4)^{2}-(-2x^{2}-10-8)(4x(x^{2}-4))}{(x^{2}-4)^{4}}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{(x^{2}-4)[(-4x-10)(x^{2}-4)-(-2x^{2}-10x-8)4x]}{(x^{2}-4)^{4}}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{4x^{3}+30x^{2}+48x+40}{(x^{2}-4)^{3}}
[/mm]
[mm] 0=-2x^{2}-10x-8
[/mm]
[mm] 0=x^{2}+5x+4
[/mm]
[mm] f''(-1)=-0,\overline{6}
[/mm]
[mm] f''(-4)=0,041\overline{6}
[/mm]
[mm] x_{1}=-1 [/mm] Hochpunkt f(-1)=0
[mm] x_{2}=-4 [/mm] Tiefpunkt f(-4)=0,75
[mm] f''(x)=\bruch{4x^{3}+30x^{2}+48x+40}{(x^{2}-4)^{3}}
[/mm]
[mm] u(x)=4x^{3}+30x^{2}+48x+40
[/mm]
$ [mm] u'(x)=12x^{2}+60x+48 [/mm] $
[mm] v(x)=(x^{2}-4)^{3}
[/mm]
$ [mm] v'(x)=+x(x^{2}-4)^{2} [/mm] $
[mm] f'''(x)=\bruch{(12x^{2}+60x+48)(x^{2}-4)^{3}-(4x^{3}+30x^{2}+48x+40)(6x(x^{2}-4)^{2})}{(x^{2}-4)^{6}}
[/mm]
[mm] f'''(x)=\bruch{(x^{2}-4)^{2}[(12x^{2}+60x+48)(x^{2}-4)-(4x^{3}+30x^{2}+48x+40)6x)}{(x^{2}-4)^{6}}
[/mm]
[mm] f'''(x)=\bruch{-12x^{4}-120x^{3}-336x^{2}+480x-192}{(x^{2}-4)^{4}}
[/mm]
Laut Turbo Plot sollte bei -5,7 der Wendepunkt sein, wenn ich das aber in die funktion eingebe komm nicht 0 raus. oder mache ich etwas falsch ?
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
