Extremwerte Funkt. mehr. Verä. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie die lokalen Maxima und Minima der Funktion
f: [mm] \IR^{2} \to \IR f(x,y)=4x^{2} \cdot e^{-x^{2}-4y^{2}}+ y^{2} \cdot e^{-x^{2}-4y^{2}}
[/mm]
Im kritischen Punkt a) (0,0) b)(0, 0.5) hat f die Hesse-Matrix: |
Hallo.
Ich soll obige Aufgabe berechnen.
Mein Lösungsansatz:
[mm] \nabla f(x,y)=\vektor{0\\0}
[/mm]
[mm] \frac{\delta f}{\delta x}= 8x*e^{-x^{2}-4y^{2}}-8x^{3}e^{-x^{2}-4y^{2}}-2xy^{2}*e^{-x^{2}-4y^{2}}= 2x(4-4x^{2}-y^{2})*e^{-x^{2}-4y^{2}}
[/mm]
[mm] \frac{\delta f }{\delta y}=-32yx^{2}*e^{-x^{2}-4y^{2}} [/mm] + 2y [mm] *e^{-x^{2}-4y^{2}}-4y^{3}*e^{-x^{2}-4y^{2}}
[/mm]
[mm] =2y*(1-2y^{2}-4x^{2})*e^{-x^{2}-4y^{2}}
[/mm]
[mm] \nabla f(x,y)=\vektor{2x(4-4x^{2}-y^{2})*e^{-x^{2}-4y^{2}}\\2y*(1-2y^{2}-4x^{2})*e^{-x^{2}-4y^{2}}}
[/mm]
Wegen [mm] \nabla f(x,y)=\vektor{2x(4-4x^{2}-y^{2})*e^{-x^{2}-4y^{2}}\\2y*(1-2y^{2}-4x^{2})*e^{-x^{2}-4y^{2}}}
[/mm]
[mm] =\vektor{0\\0} [/mm]
habe ich für [mm] \frac{\delta f}{\delta x} [/mm] folgende Nullstellen: x=0; (x=1 und x=-1 wenn y=0)
und für [mm] \frac{\delta f}{\delta y} [/mm] folgende Nullstellen: y=0 ; [mm] (y=\wurzel{0.5}, y=-\wurzel{0.5} [/mm] wenn x=0)
Damit gibt es folgende Lösungen die zu (0,0) des Gradienten führen.
[mm] \vektor{0\\0}, \vektor{1\\0}, \vektor{-1\\0}, \vektor{0\\ \wurzel{0.5}}, \vektor{0 \\ -\wurzel{0.5}}
[/mm]
Da ich mir nicht sicher bin, ob die Rechnung bisher richtig ist, würde ich mich über ein Kontrolle freuen. Der Rest würde nach der Kontrolle folgen.
Viele Grüße und danke im Voraus.
|
|
| |
|
Hallo Masseltof,
> Bestimmen Sie die lokalen Maxima und Minima der Funktion
> f: [mm]\IR^{2} \to \IR f(x,y)=4x^{2} \cdot e^{-x^{2}-4y^{2}}+ y^{2} \cdot e^{-x^{2}-4y^{2}}[/mm]
>
> Im kritischen Punkt a) (0,0) b)(0, 0.5) hat f die
> Hesse-Matrix:
> Hallo.
> Ich soll obige Aufgabe berechnen.
> Mein Lösungsansatz:
>
> [mm]\nabla f(x,y)=\vektor{0\\
0}[/mm]
>
> [mm]\frac{\delta f}{\delta x}= 8x*e^{-x^{2}-4y^{2}}-8x^{3}e^{-x^{2}-4y^{2}}-2xy^{2}*e^{-x^{2}-4y^{2}}= 2x(4-4x^{2}-y^{2})*e^{-x^{2}-4y^{2}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\frac{\delta f }{\delta y}=-32yx^{2}*e^{-x^{2}-4y^{2}}[/mm] + 2y [mm]*e^{-x^{2}-4y^{2}}-\red{4}y^{3}*e^{-x^{2}-4y^{2}}[/mm]
Die 4 passt nicht, da kommt doch eine [mm]-8y[/mm] aus der Ableitung des Expausdrucks ...
> [mm]=2y*(1-2y^{2}-4x^{2})*e^{-x^{2}-4y^{2}}[/mm]
>
> [mm]\nabla f(x,y)=\vektor{2x(4-4x^{2}-y^{2})*e^{-x^{2}-4y^{2}}\\
2y*(1-2y^{2}-4x^{2})*e^{-x^{2}-4y^{2}}}[/mm]
>
> Wegen [mm]\nabla f(x,y)=\vektor{2x(4-4x^{2}-y^{2})*e^{-x^{2}-4y^{2}}\\
2y*(1-2y^{2}-4x^{2})*e^{-x^{2}-4y^{2}}}[/mm]
>
> [mm]=\vektor{0\\
0}[/mm]
>
> habe ich für [mm]\frac{\delta f}{\delta x}[/mm] folgende
> Nullstellen: x=0; (x=1 und x=-1 wenn y=0)
>
> und für [mm]\frac{\delta f}{\delta y}[/mm] folgende Nullstellen:
> y=0 ; [mm](y=\wurzel{0.5}, y=-\wurzel{0.5}[/mm] wenn x=0)
>
> Damit gibt es folgende Lösungen die zu (0,0) des
> Gradienten führen.
> [mm]\vektor{0\\
0}, \vektor{1\\
0}, \vektor{-1\\
0}, \vektor{0\\
\wurzel{0.5}}, \vektor{0 \\
-\wurzel{0.5}}[/mm]
Zumindest die letzten beiden krit. Punkte sollten dich stutzig machen, da sie nicht zur Aufgabenstellung a) passen bzw. da [mm] $\vektor{0\\0,5}$ [/mm] nicht dabei ist ...
>
> Da ich mir nicht sicher bin, ob die Rechnung bisher richtig
> ist, würde ich mich über ein Kontrolle freuen. Der Rest
> würde nach der Kontrolle folgen.
>
> Viele Grüße und danke im Voraus.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo schachuzipus.
Ich weiß gerade selbst nicht, was ich bei der partiellen Ableitung nach y berechnet habe.
[mm] \frac{\partial f}{\partial y}= 2y(1-16x^{2}-4y^{2}. [/mm]
Damit ist [mm] \nabla f(x,y)=\vektor{2x(4-4x^{2}-y^{2})*e^{-x^{2}-4y^{2}}\\ 2y(1-16x^{2}-y^{2}})
[/mm]
Als Nullstellen erhalte ich damit:
[mm] \vektor{0\\0},\vektor{1\\0}, \vektor{-1\\0}, \vektor{0\\0.5}, \vektor{0\\-0.5}
[/mm]
a)Hesse Matrix im kritischen Punkt (0,0)
Die Hesse Matrix erhalte ich über die 2.partielle Ableitung der Funktion f.
[mm] \frac{\partial f^{2}}{\partial x \partial y}=e^{-x^{2}-4y^{2}}*(8-16x^{2}-24x^{2}+16x^{4}-2y^{2}+4x^{2}y^{2})=e^{-x^{2}-4y^{2}}*(8*(1-5x^{2}+2x^{4})-2y^{2}*(1+2x^{2}))
[/mm]
[mm] \frac{\partial f^{2}}{\partial y \partial x}=\frac{\partial f^{2}}{\partial x \partial y}=e^{-x^{2}-4y^{2}}*(-68yx+64x^{3}y+16xy^{3})
[/mm]
[mm] \frac{\partial f^{2}}{\partial y \partial y}=e^{-x^{2}-4y^{2}}*(-32x^{2}+256y^{2}x^{2}+2-40y^{2}+64y^{4})
[/mm]
Ich hoffe ich habe mich nicht verrechnet...
Für (0,0) erhalte ich dann den kritischen Punkt in Hess-Matrix: [mm] \pmat{8 & 0\\ 0 & 2} [/mm] -> Eigenwerte -> pos. definit -> lok. Minimum
b) Für (0, [mm] \frac{1}{2}) [/mm] erhalte dann den kritischen Punkt in Hess-Matrix:
[mm] e^{-1}*\pmat{-4 & 0\\ 0 & -4} [/mm] -> Eigenwert -> neg. definit -> lokales Maximum
Ist das so in Ordnung?
Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus.
>
> Ich weiß gerade selbst nicht, was ich bei der partiellen
> Ableitung nach y berechnet habe.
>
> [mm]\frac{\partial f}{\partial y}= 2y(1-16x^{2}-4y^{2}.[/mm]
Hier fehlt der ganze Exp-Ausdruck ...
>
> Damit ist [mm]\nabla f(x,y)=\vektor{2x(4-4x^{2}-y^{2})*e^{-x^{2}-4y^{2}}\\
2y(1-16x^{2}-y^{2}})[/mm]
Hier auch bei [mm] $f_y$
[/mm]
Die 2.Ableitungen nachzurechnen, fehlt mir die Lust bzw. ein elektr. Rechenknecht.
Du kannst ja mal bei wolframalpha online nachgucken, da kann man das sicher eintippen und ausrechnen lassen ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 Do 05.07.2012 | | Autor: | fred97 |
Dass in (0,0) ein glabales Minimum vorliegt, sieht man ohne Rechnung, denn es ist stets f [mm] \ge [/mm] 0 und f(0,0)=0.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:59 Do 05.07.2012 | | Autor: | Masseltof |
Hallo und danke für beide Antworten.
Den exp-Ausdruck habe ich vergessen einzufügen, wurde aber in den Rechnungen berücksichtigt.
Grüße :)
|
|
|
|
