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Extremwerte, Wendepunkte: Unklarheit
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:56 Sa 29.01.2011
Autor: raida

Aufgabe
f(x) = [mm] \bruch{3x^3 +3x-6}{x} [/mm]

Hallo,
bei der oben gegebenen Fkt. ergibt sich nach Untersuchung auf Extremwerte bei der notwendigen Bedingung, f'(x) = 0 --> [mm] x^{3} [/mm] = -1.
In meinem Lösungsbuch ist angegeben, dass ein Extremwert bei x =-1 vorliegt. Wieso darf man das sagen, da  x = [mm] \wurzel[3]{-1} [/mm] in R nicht definiert.

Bei den Wendepunkten erhält man für f''(x) = 0 -->  [mm] x^{3} [/mm] = 2.
Hier wird nun die Wurzel gezogen und ein WP bei x = [mm] \wurzel[3]{2} [/mm] angegeben.

Müsste bei den Extremwerten nicht auch die Wurzel gezogen werden, was nicht möglich ist und somit existiert kein Extremwert?

Vielen Dank.

        
Bezug
Extremwerte, Wendepunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:05 Sa 29.01.2011
Autor: MaTEEler


> f(x) = [mm]\bruch{3x^3 +3x-6}{x}[/mm]
>  Hallo,
>  bei der oben gegebenen Fkt. ergibt sich nach Untersuchung
> auf Extremwerte bei der notwendigen Bedingung, f'(x) = 0
> --> [mm]x^{3}[/mm] = -1.
>  In meinem Lösungsbuch ist angegeben, dass ein Extremwert
> bei x =-1 vorliegt. Wieso darf man das sagen, da  x =
> [mm]\wurzel[3]{-1}[/mm] in R nicht definiert.
>  
> Bei den Wendepunkten erhält man für f''(x) = 0 -->  [mm]x^{3}[/mm]

> = 2.
>  Hier wird nun die Wurzel gezogen und ein WP bei x =
> [mm]\wurzel[3]{2}[/mm] angegeben.
>  
> Müsste bei den Extremwerten nicht auch die Wurzel gezogen
> werden, was nicht möglich ist und somit existiert kein
> Extremwert?
>  
> Vielen Dank.


Hallo raida,

x =  [mm]\wurzel[3]{-1}[/mm] ist in R definiert, denn [mm] (-1)^{3}=-1. [/mm]

Du musst unterscheiden zwischen der zweiten Wurzel (der üblichen Quadratwurzel) und der dritten Wurzel. Unter der zweiten Wurzel dürfen keine negativen Werte auftauchen, da die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl in R nicht definiert ist, denn [mm] x^{2} \ge [/mm] 0 gilt für alle x. Aber für [mm] x^{3} [/mm] gibt es für x<0 eben auch negative Ergebnisse, da "Minus mal Minus mal Minus" wieder Minus ergibt und somit existiert in R die dritte Wurzel aus negativen Zahlen.

Du hast also Recht, dass beim Extremwert auch die Wurzel gezogen werden muss, aber eben die dritte, und die existiert in R eben auch für negative Argumente!

MfG,
MaTEEler


Bezug
                
Bezug
Extremwerte, Wendepunkte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:40 Sa 29.01.2011
Autor: raida

Hallo MaTEEler,
jetzt ist es mir klar, wieder was gelernt;)
Danke für deine super Erklärung!

Grüße

Bezug
                
Bezug
Extremwerte, Wendepunkte: Anmerkung zur Wurzel
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:00 Sa 29.01.2011
Autor: Loddar

Hallo MaTEEler,

[willkommenmr] !!


Du musst hier unterscheiden ... die Wurzel (egal welcher Art) ist immer als nicht-negativer Wert definiert, der n-mal mit sich multipliziert (hier n=3), den Ausgangswert ergibt.

Damit ist [mm]\wurzel[3]{-1} \ = \ -1[/mm] falsch, da es der Definition widerspricht.


Im Gegensatz dazu hat die Gleichung [mm]x^3 \ = \ -1[/mm] selbstverständlich genau eine reelle Lösung mit [mm]x \ = \ -1[/mm] .
Rein formell erhält man diese Lösung mit:

[mm]x^3 \ = \ -1[/mm]

[mm]0 \ = \ x^3+1 \ = \ (x+1)*\left(x^2-x+1\right)[/mm]

[mm]x+1 \ = \ 0 \ \ \ \ \text{ oder } \ \ \ \ x^2-x+1 \ = \ 0[/mm]


Gruß
Loddar


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