Extremwerte einer Funktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:11 Do 02.10.2008 | | Autor: | pal2 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion
f(x,y)=x²-xy+y²
i) Bestimmen sie alle stationären Punkte der Funktion f.
ii) Welche dieser Punkte sind lokale Minima bzw. Maxima?
iii) Bestimmen sie alle globalen Extremwerte von f auf der Menge
D={(x,y):x²+y²<=1} |
Hallo,
ich lern gerade für eine Klausur und hab eine Frage wegen dieser Aufgabe.
Bisher hab ich:
i)
Grad f=0
2x-y=0
-x+2y=0
=> Stationäre Punkte (wegen Koeffizientenvergleich) nur (0,0)
ii)
Hessematrix ist
[mm] \pmat{ 2 & -1 \\ -1 & 2 } [/mm]
positiv definit => Minimum
iii)
x² + y² = 1
2x-y + [mm] \lambda*2x [/mm] = 0
-x+2y + [mm] \lambda*2y [/mm] = 0
=> x=0=y
und
[mm] \lambda=y=x [/mm]
das in Gleichung eins ergibt dann [mm] \lambda [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm] = x = y
Das in f(x,y) eingesetz ergibt dann 0,5
Ist dies automatisch ein Maximum weil über die Hesse Matrix (pos. definit und ohne Variablen) nur Minima rauskommen? Oder hab ich was falsch gemacht?
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke schonmal
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:37 Do 02.10.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Gegeben sei die Funktion
>
> f(x,y)=x²-xy+y²
>
> i) Bestimmen sie alle stationären Punkte der Funktion f.
> ii) Welche dieser Punkte sind lokale Minima bzw. Maxima?
> iii) Bestimmen sie alle globalen Extremwerte von f auf der
> Menge
>
> D={(x,y):x²+y²<=1}
> Hallo,
> ich lern gerade für eine Klausur und hab eine Frage wegen
> dieser Aufgabe.
> Bisher hab ich:
>
> i)
>
> 2x-y=0
> -x+2y=0
>
> => Stationäre Punkte (wegen Koeffizientenvergleich) nur
> (0,0)
>
Du solltest hinschreiben, dass das die Ableitungen sind. Ich rate nicht gerne.
> ii)
>
> Hessematrix ist
> [mm]\pmat{ 2 & -1 \\ -1 & 2 }[/mm]
> positiv definit => Minimum
>
Richtig.
> iii)
>
> x² + y² = 1
> 2x-y + [mm]\lambda*2x[/mm] = 0
> -x+2y + [mm]\lambda*2y[/mm] = 0
Wieder dasselbe: Schreiben hin was du machst!
>
> => x=0=y
Das beisst sich doch mit [mm] x^2+y^2=1.
[/mm]
> und
> [mm]\lambda=y=x[/mm]
> das in Gleichung eins ergibt dann [mm]\lambda[/mm] =
> [mm]\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm] = x = y
>
Das versteh ich nicht mehr, da du die Rechenschritte nicht hingeschrieben hast. Ich hätte jetzt erstmal spontan die zweite und dritte Gleichung addiert. Und dann mal weiterschauen.
> Das in f(x,y) eingesetz ergibt dann 0,5
> Ist dies automatisch ein Maximum weil über die Hesse
> Matrix (pos. definit und ohne Variablen) nur Minima
> rauskommen? Oder hab ich was falsch gemacht?
Ich hab mir das mal zeichnen lassen... also [mm] \sqrt{\frac{1}{2}} [/mm] sieht schon mal recht gut (zumindest sagt mir das mein Auge). Nur mit den Vorzeichen haperts noch; es sind ausserdem zwei Maxima auf dem Rand. Der Funktionswert ist aber 1,5 (sofern ich das richtig erkenne).
Deine Erklärung mit der Hesse-Matrix versteh ich auch nicht. Auf dem Rand des Definitionsbereiches kannst du die Hesse-Matrix nicht anwenden.
Du kannst nur argumentieren, dass du alle lokalen Extrema schon in Aufgabe Eins gefunden hast, und deswegen müssen es Maxima auf dem Rand sein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:59 Do 02.10.2008 | | Autor: | pal2 |
Tut mir Leid das es nicht so ausführlich war.
x² + y² = 1
2x-y + [mm] \lambda*2x=0
[/mm]
-x+2y + [mm] \lambda*2y=0
[/mm]
x² + y² = 1
[mm] 2x*(-y+\lambda)=0
[/mm]
[mm] 2y*(-x+\lambda)=0
[/mm]
[mm] \lambda=y=x [/mm]
das in Gleichung eins ergibt dann
[mm] \lambda²+\lambda²=1
[/mm]
[mm] \lambda=\wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm]
Das in f(x,y) eingesetz ergibt dann 0,5.
Hoffe man kann die Rechnung jetzt nachvollziehen. Und der zweite Extremwert könnte bei [mm] f(-\wurzel{\bruch{1}{2}},-\wurzel{\bruch{1}{2}})=-1,5 [/mm] sein, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:16 Fr 03.10.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Tut mir Leid das es nicht so ausführlich war.
>
> x² + y² = 1
> 2x-y + [mm]\lambda*2x=0[/mm]
> -x+2y + [mm]\lambda*2y=0[/mm]
>
> x² + y² = 1
> [mm]2x*(-y+\lambda)=0[/mm]
> [mm]2y*(-x+\lambda)=0[/mm]
>
Du hast immer noch nicht hingeschrieben, dass das die Ableitungen sein sollen.
Und die Funktion, die du ableitest, die hast du auch nicht hingeschrieben.
> [mm]\lambda=y=x[/mm]
> das in Gleichung eins ergibt dann
> [mm]\lambda²+\lambda²=1[/mm]
> [mm]\lambda=\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
Wenn du die Wurzel aus einem Quadrat ziehst, dann müssen da Betragsstriche hin: [mm]|\lambda|=\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm].
> Das in f(x,y) eingesetz ergibt dann 0,5.
> Hoffe man kann die Rechnung jetzt nachvollziehen. Und der
> zweite Extremwert könnte bei
> [mm]f(-\wurzel{\bruch{1}{2}},-\wurzel{\bruch{1}{2}})=-1,5[/mm] sein,
> oder?
Nicht raten, rechnen. Du hast jetzt vier Möglichkeiten: jeweils [mm]x,y = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}[/mm].
Das sind die lokalen Extrema auf dem Rand. In der Aufgabenstellung steht aber, dass du die globalen Extrema innerhalb der ganzen Menge suchen sollst. Dadurch fallen zwei der lokalen Extrema auf dem Rand weg, da sie keine globalen bzgl. der ganzen Menge sind.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:19 Fr 03.10.2008 | | Autor: | pal2 |
OK ich glaub ich habs verstanden vielen Dank das du dir die Mühe gemacht hast.
|
|
|
|
