Extremwerte mit Nebenbed. < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Die Gerade durch den Punkt [mm] P(x_{0},y_{0}) [/mm] soll mit den Koordinatenachsen ein Dreieck möglichst kleinen Flächeninhalts bilden.
Achsenabschnittsform einer Geraden: [mm] \bruch{x}{a}+\bruch{y}{b}=1
[/mm]
Für meinen Fall also: [mm] \bruch{x_{0}}{a}+\bruch{y_{0}}{b}=1
[/mm]
Flächeninhalt eines Dreiecks: [mm] \bruch{1}{2}*a*b
[/mm]
Der Achsenabschnitt ist die Nebenbedingung für meine Aufgabe.
Also ist : [mm] H(a,b,\lambda)=\bruch{1}{2}*a*b+\lambda*(\bruch{x_{0}}{a}+\bruch{y_{0}}{b}-1)=0
[/mm]
Ich bilde die Ableitungen:
I [mm] \bruch{\partial H}{\partial a}=\bruch{1}{2}*b-\bruch{\lambda*x_0}{a^{2}} [/mm] = 0
II [mm] \bruch{\partial H}{\partial b}=\bruch{1}{2}*a-\bruch{\lambda*y_0}{b^{2}} [/mm] = 0
III [mm] \bruch{\partial H}{\partial \lambda}=\bruch{x_{0}}{a}+\bruch{y_{0}}{b} [/mm] = 1
Ich löse auf, nach auflösen erhalte ich:
[mm] \bruch{x_0}{a}=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{y_0}{b}=\bruch{1}{2}
[/mm]
und
a = [mm] 2*x_{0}
[/mm]
b = [mm] 2*y_{0}
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] = [mm] 4*y_{0}*x_{0}
[/mm]
Hinreichende Bedingung:
[mm] Q(h,k)=\bruch{\partial H^{2}}{\partial a^{2}}*h^{2}+2*\bruch{\partial H^{2}}{\partial a\partial b}*h*k+\bruch{\partial H^{2}}{\partial b^{2}}*k^{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{2*\lambda*x_{0}}{a^{3}}*h^{2}+2*\bruch{1}{2}*h*k+\bruch{2*\lambda*y_{0}}{b^{3}}*k^{2}
[/mm]
Ich setze meine werte für a und b ein und erhalte nach kürzen
[mm] \Rightarrow \bruch{y_0}{x_0}*h^{2}+h*k+\bruch{x_0}{y_0}*k^{2}
[/mm]
Werte für h und k erhalte ich durch den gradienten der Nebenbedingung.
[mm] \nabla [/mm] g(?,?) = [...] |
Hallo siehe aufgabe oben die ich schon zu 98% gelöst habe. Der letzte Finale schritt fehlt mir allerdings.
Bilde ich den [mm] \nabla [/mm] g in dem ich für a und b oder für x und y ableite?
Ich habe die Ableitungen bereits gebildet.
für x und y wäre das :
[mm] \bruch{1}{a}*h+\bruch{1}{b}*k
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{a}*h=-\bruch{1}{b}*k
[/mm]
für a und b wäre es :
[mm] \bruch{-x_{0}}{a^{2}}*h+\bruch{-y_{0}}{b^{2}}*k
[/mm]
Für beide fälle könnte ich wieder die werte für a und b einsetzen.
Ich muss ja eigentlich nur wissen ob es sich um ein Minimum handelt wozu ich Q(h,k) gebildet habe. Wenn es Positiv definit ist ist es auch ein Minimum.
Ich bin mir aktuell nur nicht sicher ob ich der form
[mm] \bruch{y_0}{x_0}*h^{2}+h*k+\bruch{x_0}{y_0}*k^{2}
[/mm]
schon ansehen kann ob sie definitiv positiv ist. Für [mm] h^{2} [/mm] und [mm] k^{2} [/mm] können ja positive wie negative werde stehen sie werden so oder so positiv. für h*k könnte auch ein "negativer" fall eintreten. [mm] h^{2} [/mm] und [mm] k^{2} [/mm] wären für diesen fall allerdings immernoch "stärker".
Desweitern. Muss überhaupt für [mm] x_{0} [/mm] und [mm] y_{0} [/mm] werte annehmen oder kann ich die so stehen lassen? Für den fall das ich diese so stehen lassen kann sieht man der Form an das sie Positiv definit und somit ein minima ist.
Grund : [mm] (-k)^{2}+(-k)*k+k^{2} [/mm] = [mm] k^2 \Rightarrow [/mm] Positiv definit.
Denn egal wie man den Gradienten auflöst, es kommt immer h = -k bzw. k = -h raus.
Gruß,
Obi
|
|
| |
|
Hallo ObiKenobi,
puuuh. Muss das so kompliziert sein?
Das geht doch schon mit Mitteln der Oberstufenmathematik recht einfach.
Noch einfacher ist es, das Koordinatensystem so zu skalieren, dass [mm] \hat{x}=ax [/mm] und [mm] \hat{y}=ax [/mm] sowie [mm] x_0y_0=a^{-2} [/mm] bzw. [mm] \hat{x}_0\hat{y}_0=1 [/mm] sind. Dann liegt also [mm] (\hat{x}_0,\hat{y}_0) [/mm] auf der Normalhyperbel im skalierten System, und die Tangente daran ist die gesuchte Gerade. Wenn Du das Koordinatensystem (samt Gerade) rücktransformierst, bleibt die Lösung.
Die Sonderlösungen für [mm] x_0=0 [/mm] oder [mm] y_0=0 [/mm] sind entartete Dreiecke mit dem Flächeninhalt Null.
Also, worum geht es hier jetzt eigentlich?
Grüße
reverend
PS: Ich lasse die Frage halboffen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:18 Mo 12.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Löse die Nebenbedingung $ [mm] \bruch{x_{0}}{a}+\bruch{y_{0}}{b}=1 [/mm] $ nach b auf und setze das in die Zielfunktion
F(a,b)= $ [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}a\cdot{}b [/mm] $
ein. Dann hast Du ein Extremwertproblem für eine Funktion der Var. a, ohne(!) Nebenbedingung.
FRED
|
|
|
|
