Extremwerte mit Nebenbedingung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 Fr 11.03.2011 | | Autor: | Barbidi |
| Aufgabe | Lage und Funktionswerte der relativen Extrema mit Nebenbedingung:
f(x,y)=x+y mit Nebenbedingung:
[mm] x^2=1-y^2 [/mm] |
Moin,
ich hab eine kleine Frage zu dieser Aufgabe.
Und zwar möchte ich mal wieder wissen ob es ein Minimum oder Maximum ist. Hier mein Vorgehen. Ich habe die Lagransche Multiplikation benutzt und kam auf 2 relative Extrema bei P1(Wurzel 1/2 ; Wurzel 1/2) Und das ganze auch nochmal mit P2(- Wurzel 1/2; - Wurzel 1/2) In die Funktion eingesetzt und kam dann auf die Funktionswerte +/- 1,4142.
Nun habe ich überlegt kann ich doch mal schauen ob es auch mini oder maxima sind. Dafür habe ich die Nebenbedingung umgeformt zu [mm] x=(1-y^2)^0.5 [/mm] und dann in die Funktion eingesetzt. Beim ersten Ableiten habe ich dann die bestätigung bekommen, dass mein ergebnis richtig sein müsst das ich ebenfalls auf +/- Wurzel 0.5 kam. Dann habe ich die 2te Ableitung gebilet und y dann eingesetzt. ich kam beide male auf -2,82... Darauß würde ich schließen , dass es in beiden fällen ein Maxima ist. Ist diese Überlegung am ende richtig?
Danke im Vorraus.
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Hallo,
> ich hab eine kleine Frage zu dieser Aufgabe.
> Und zwar möchte ich mal wieder wissen ob es ein Minimum oder Maximum ist. Hier mein Vorgehen. Ich habe die Lagransche Multiplikation benutzt und kam auf 2 relative Extrema bei P1(Wurzel 1/2 ; Wurzel 1/2) Und das ganze auch nochmal mit P2(- Wurzel 1/2; - Wurzel 1/2) In die Funktion eingesetzt und kam dann auf die Funktionswerte +/- 1,4142.
Das ist dann die z Koordinate der Punkte!
[mm] P_1 (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{2})
[/mm]
> Nun habe ich überlegt kann ich doch mal schauen ob es auch
> mini oder maxima sind. Dafür habe ich die Nebenbedingung
> umgeformt zu [mm]x=(1-y^2)^0.5[/mm] und dann in die Funktion
> eingesetzt.
Das kannst du gleich am Anfang machen.
> Beim ersten Ableiten habe ich dann die
> bestätigung bekommen, dass mein ergebnis richtig sein
> müsst das ich ebenfalls auf +/- Wurzel 0.5 kam.
Sicher?
Bei mir kommt nur die positive Lösung [mm] \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}} [/mm] als Extremstelle von [mm] g(y)=y+\sqrt{1-y^2} [/mm] in Frage.
Das Problem liegt bei der Umstellung [mm] x^2+y^2=1 \Rightarrow |x|=\sqrt{1-y^2}.
[/mm]
Beachte den Betrag. Das andere Extremum findest du durch Ableiten der zweiten Funktion [mm] h(y)=y-\sqrt{1-y^2}. [/mm] Das ist im Prinzip analog.
> Dann habe ich die 2te Ableitung gebilet und y dann eingesetzt. ich
> kam beide male auf -2,82... Darauß würde ich schließen ,
> dass es in beiden fällen ein Maxima ist. Ist diese
> Überlegung am ende richtig?
Nein. Nur [mm] P_1 [/mm] ist ein Maximumpunkt.
>
> Danke im Vorraus.
>
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Fr 11.03.2011 | | Autor: | Barbidi |
OK das habe ich alles nachvollziehen könnnen, und was machst du mit P2 dann wenn es keine Maxima ist? <Fällt es einfach raus? wenn ja warum?
Danke nochmal
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> OK das habe ich alles nachvollziehen könnnen, und was
> machst du mit P2 dann wenn es keine Maxima ist? <Fällt es
> einfach raus? wenn ja warum?
[mm] P_2 [/mm] ist ein Minimumpunkt. Rechne mal nach.
>
> Danke nochmal
Gruß
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