Extremwerte mit e Fkt. < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Also meine Aufgabe ist
geg:
f(x)=e^-2x * sinx
Man berechne die loken Extremwerte im intervall [0;2Pi]
okay erstmal 1Abl.
(-1/2e^-2x((sinx) + (e^-2x)(cos x)
e^-2x(-0.5 sinx)+(cos x)=0
und hier weiß ich nicht wie man das nach x umstellen kann
um die notwendige bed. f'(x)=0 zu erfüllen
so ein problem habe ich mit einer anderen aufgabe auch da soll die e-fkt. null werden, denke e-fkt. kann nicht null werden
thx & gruss
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> Also meine Aufgabe ist
> geg:
> f(x)=e^-2x * sinx
>
> Man berechne die loken Extremwerte im intervall [0;2Pi]
>
> okay erstmal 1Abl.
> (-1/2e^-2x((sinx) + (e^-2x)(cos x)
Diese Ableitung ist falsch. Richtig wäre:
[mm] [center]$f'(x)=\big(\cos(x)-2\sin(x)\big)\cdot e^{-2x}$[/center]
[/mm]
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> e^-2x(-0.5 sinx)+(cos x)=0
>
> und hier weiß ich nicht wie man das nach x umstellen kann
> um die notwendige bed. f'(x)=0 zu erfüllen
Diese Gleichung sieht auch transzendent aus. Das heisst: Du wirst sie kaum mit symbolischen Methoden lösen können.
Dieses Problem hätte Dich eigentlich auf den Gedanken bringen sollen, dass Deine Ableitung vielleicht falsch sein könnte.
Mit der richtigen Ableitung von $f$ erhältst Du folgende Nullstellengleichung:
[mm]\big(\cos(x)-2\sin(x)\big)\cdot e^{-2x}=0[/mm]
Der Faktor [mm] $e^{-2x}$ [/mm] kann, wie Du richtig bemerkst, nie $0$ werden. Also müssen alle kritischen Stellen von $f$ Lösungen der Gleichung [mm] $\cos(x)-2\sin(x)=0$ [/mm] sein.
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> so ein problem habe ich mit einer anderen aufgabe auch da
> soll die e-fkt. null werden, denke e-fkt. kann nicht null
> werden
Richtig.
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kleiner exkurs zur abl. der e-fkt.
also wenn ich e-fkt ableite schreibe ich einfach ab egal was im exponet steht und beim integrieren muss ich gegebenfalls substituieren
ich denke hier war mein fehler ich habe beim ableiten substituiert
weiteres Problem
kann leider diese Gleichung [mm]\cos(x)-2\sin(x)=0[/mm]
nicht umstellen
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> kleiner exkurs zur abl. der e-fkt.
> also wenn ich e-fkt ableite schreibe ich einfach ab egal
> was im exponet steht
Neeee, mein Lieber, neeee: nicht egal, was im Exponenten steht. Du musst ja die Kettenregel anwenden, falls im Exponenten etwas anderes als gerade nur die Variable steht, nach der Du diese Exponentialfunktion ableiten willst. Andernfalls musst Du die Exponentialfunktion noch mit der Ableitung des Exponenten multiplizieren. In Deinem Fall war ja zum Beispiel die Ableitung der im Exponenten stehenden "inneren Funktion" $g(x)=-2x$ gleich $-2$. Deshalb ist
[mm]\big(e^{-2x}\big)' = e^{-2x}\red{\cdot (-2x)'} = e^{-2x}\red{\cdot (-2)} = \red{-2}e^{-2x}[/mm]
> und beim integrieren muss ich
> gegebenfalls substituieren
> ich denke hier war mein fehler ich habe beim ableiten
> substituiert
Zugegeben: es bestehen einige ganz wichtige Beziehungen zwischen Ableiten und Integrieren. Aber man kann natürlich nicht einfach willkürlich diese Regeln mischen - jedenfalls nicht alle...
> weiteres Problem
> kann leider diese Gleichung [mm]\cos(x)-2\sin(x)=0[/mm]
> nicht umstellen
Es wäre eine gute Idee, wenn Du schreiben würdest, was Du versucht hast (falls Du überhaupt etwas selbständig zu machen versucht hast). Hier mein Vorschlag:
[mm]\begin{array}{rcll}
\cos(x)-2\sin(x) &=& 0 &|\; +2\sin(x)\\
\cos(x) &=& 2\sin(x) &|\; \div 2,\div \cos(x)\\
\frac{1}{2} &=& \tan(x)&|\; \tan^{-1}\\
\tan^{-1}\frac{1}{2} &=& x
\end{array}[/mm]
Diese Gleichung hat also unendlich viele Lösungen: Du musst noch schauen, welche dieser Lösungen sich in dem von Aufgabenstellung angegebenen Intervall befinden
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