Extremwerte mit mehreren V. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] f(x,y)=3*x^3-36x+y^3-3y^2
[/mm]
Bestimmen Sie die Extremwerte. |
Hallo, ich versteh am entscheidenden Schritt nicht, wie man prüft, ob Max. oder Min. vorliegen. Vielleicht kann ja wer helfen.
Habe so angefangen:
[mm] f_x(x,y)=9x^2-36 [/mm] und [mm] f_y(x,y)=3y^2-6y
[/mm]
So, dann muss man ja die gemeinsamen Nullstellen berechnen, da komm ich auf die Punkte:
[mm] P_1(-2,0), P_2(-2,2), P_3(2,0), P_4(2,2)
[/mm]
So, dann muss man ja die Hesse-Matrix bei diesen Punkten untersuchen. Erstmal die Hesse-Matrix:
[mm] H(x,y)=\pmat{ 18x & 0 \\ 0 & 6y-6 }
[/mm]
so jetzt die hinreichende Bed.
[mm] H(-2,0)=\pmat{ -36 & 0 \\ 0 & -6 }<0, [/mm] negativ definit
[mm] H(-2,2)=\pmat{ -36 & 0 \\ 0 & 6 } [/mm] indefinit
[mm] H(2,0)=\pmat{ 36 & 0 \\ 0 & -6 } [/mm] indefinit
[mm] H(2,2)=\pmat{ 36 & 0 \\ 0 & 6 }>0, [/mm] positv definit
so bei dieser Aufgabe, war es ja auch recht einfach, man sieht, dass das Max bei [mm] P_1 [/mm] und das Min bei [mm] P_4 [/mm] liegt.
Aber wie würde ich erkennen, ob ein Max. oder Min. vorliegt, wenn die Hesse-Matrix nicht Diagonalgestallt hat, also wenn dann z.B. rauskommen würde:
[mm] H(2,2)=\pmat{ 36 & -3 \\ -3 & 6 }
[/mm]
Was könnte man jetzt aus dieser Matrix folgern, um was für ein Extremum es sich handelt?
Und hätten wir eigentlich auch ein Min., wenn [mm] H(2,2)=\pmat{ 36 & 0 \\ 0 & 0} [/mm] so aussehen würde? ode wäre das jetzt indefinit, weil wir eine positive Zahl haben und dann die 0?
Ich habe vorhin noch was gelesen, dass man die Untersuchung auch mit der Det. machen kann. Wie läuft das denn ab?
danke für Erklärungen?
Gruß
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> [mm]H(x,y)=\pmat{ 18x & 0 \\ 0 & 6y-6 }[/mm]
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> so jetzt die hinreichende Bed.
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> [mm]H(-2,0)=\pmat{ -36 & 0 \\ 0 & -6 }<0,[/mm] negativ definit
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> [mm]H(-2,2)=\pmat{ -36 & 0 \\ 0 & 6 }[/mm] indefinit
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> [mm]H(2,0)=\pmat{ 36 & 0 \\ 0 & -6 }[/mm] indefinit
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> [mm]H(2,2)=\pmat{ 36 & 0 \\ 0 & 6 }>0,[/mm] positv definit
>
> so bei dieser Aufgabe, war es ja auch recht einfach, man
> sieht, dass das Max bei [mm]P_1[/mm] und das Min bei [mm]P_4[/mm] liegt.
Hallo,
ich habe Deine Punkte nicht nachgerechnet, die Schlüsse, die Du aus den Hessematrizen ziehst, sind jedenfalls richtig.
Nun würde mich ja interessieren, wie Du oben heausgefunden hast, ob die Hessematrizen pos., neg. definit oder indefinit sind.
> Aber wie würde ich erkennen, ob ein Max. oder Min.
> vorliegt, wenn die Hesse-Matrix nicht Diagonalgestallt hat,
> also wenn dann z.B. rauskommen würde:
>
> [mm]H(2,2)=\pmat{ 36 & -3 \\ -3 & 6 }[/mm]
>
> Was könnte man jetzt aus dieser Matrix folgern, um was für
> ein Extremum es sich handelt?
Also zunächst mal:
Hessematrix am kritischen Punkt pos. definit ==>Min
Hessematrix am kritischen Punkt neg.. definit ==>Max
Hessematrix am kritischen Punkt indefinit ==>Sattelpunkt
Hessematrix am kritischen Punkt semidefinit ==> man kann es so nicht wissen.
Schau Dir ![[]](/images/popup.gif) hier die Definitheitskriterien für symmetrische Matrizen an (Hauptminoren, Eigenwerte), dies sollte Deine Fragen bantworten.
> Und hätten wir eigentlich auch ein Min., wenn [mm]H(2,2)=\pmat{ 36 & 0 \\ 0 & 0}[/mm]
> so aussehen würde? ode wäre das jetzt indefinit, weil wir
> eine positive Zahl haben und dann die 0?
Diese Matrix wäre semidefinit, und wir müßen andere Untersuchungen durchführen, um zu entscheiden, von welcher Art der kritische Punkt ist.
Gruß v. Angela
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Achso, d.h. bei so einer Matrix $ [mm] H(2,2)=\pmat{ 36 & -3 \\ -3 & 6 } [/mm] $ müsste ich jetzt erst über das charakteristische Polynom die EW bestimmten und je nachdem entscheiden, welche definitheit vorliegt.
und bei meiner anderen Matrix [mm] H(2,2)=\pmat{ 36 & 0 \\ 0 & 6 }>0 [/mm] konnte man erkennen, dass die Matrix pos. def. ist, da die Matrix ja schon in Diagonalgestallt ist und man somit die EW ablesen kann und diese sind ja positiv.
Und mit der Determinate, ist dass dann so, dass wenn z.b. die det von so einer Matrix [mm] H(2,2)=\pmat{ 36 & -3 \\ -3 & 6 } [/mm] positiv ist, dass die dann pos. def. ist und negative Determinate= neg. def? und wenn det=0 indef.?
sind meine Schlüsse so alle richtig?
und welche Weiteren Untersuchungen müsste man hier [mm] H(2,2)=\pmat{ 36 & 0 \\ 0 & 0} [/mm] durchführen? Det. geht ja schlecht.
danke und gruß
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Hallo Steve,
> Achso, d.h. bei so einer Matrix [mm]H(2,2)=\pmat{ 36 & -3 \\ -3 & 6 }[/mm]
> müsste ich jetzt erst über das charakteristische Polynom
> die EW bestimmten und je nachdem entscheiden, welche
> definitheit vorliegt.
Ja, das kannst du machen oder alternativ, da hier eine symmetrische Matrix vorliegt, das Hauptminorenkriterium benutzen, berechne die beiden Hauptunterdeterminanten [mm] $det(36)=det(a_{11})$ [/mm] und [mm] $det\pmat{ 36 & -3 \\ -3 & 6 }=det\pmat{ a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} }$
[/mm]
Das geht m.E. schneller 
>
> und bei meiner anderen Matrix [mm]H(2,2)=\pmat{ 36 & 0 \\ 0 & 6 }>0[/mm]
> konnte man erkennen, dass die Matrix pos. def. ist, da die
> Matrix ja schon in Diagonalgestallt ist und man somit die
> EW ablesen kann und diese sind ja positiv.
Jo quasi die "Mit-einem-Blick"-Variante
>
> Und mit der Determinate, ist dass dann so, dass wenn z.b.
> die det von so einer Matrix [mm]H(2,2)=\pmat{ 36 & -3 \\ -3 & 6 }[/mm]
> positiv ist, dass die dann pos. def. ist und negative
> Determinate= neg. def? und wenn det=0 indef.? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du musst alle Hauptunterdeterminanten/Hauptabschnittsdeterminanten (Hauptminoren) berechnen.
Wenn alle positiv sind, ist die Matrix pos. definit,
EDIT (Danke an Angela fürs Aufpassen)
Negativ definit ist die Matrix A, falls -A positiv definit ist
EDIT Ende
Du schnappst dir das Element [mm] $a_{11}$ [/mm] berechnest die Determinante (das ist ja [mm] $=a_{11}$) [/mm] und baust dir sukzessiv größer werdende quadratische (Unter-)Matrizen mit linkem oberen Element [mm] $a_{11}$ [/mm] und berechnest jeweils deren Determinanten (Hauptminoren)
>
> sind meine Schlüsse so alle richtig?
>
> und welche Weiteren Untersuchungen müsste man hier
> [mm]H(2,2)=\pmat{ 36 & 0 \\ 0 & 0}[/mm] durchführen? Det. geht ja
> schlecht.
Auch hier 2 einfache Möglichkeiten:
(1) Lies die Eigenwerte ab: 36 und 0, also einer >0, der andere =0 , also pos. semidefinit
(2) Berechne die Hauptminoren
Berechne also $det(36)$ und [mm] $det\pmat{ 36 & 0 \\ 0 & 0}$
[/mm]
Was erhältst du hierbei und was folgt logischerweise...
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> danke und gruß
LG
schachuzipus
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hi.
ja dann heißt das wohl det(36)=36 und [mm] det\pmat{ 36 & 0 \\ 0 & 0}=0
[/mm]
so jetzt bin ich mir nicht sicher. die det sind ja jetzt alle eigentlich positiv. also müsste es dann pos. def. sein? oder zählt 0 nicht zu positiv? dann wäre es ja indefinit.
gruß
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> hi.
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> ja dann heißt das wohl det(36)=36 und [mm]det\pmat{ 36 & 0 \\ 0 & 0}=0[/mm]
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> so jetzt bin ich mir nicht sicher. die det sind ja jetzt
> alle eigentlich positiv. also müsste es dann pos. def.
> sein? oder zählt 0 nicht zu positiv?
Hallo,
die Null ist weder positiv noch negativ, also ist die Matrix keinesfalls positiv definit.
Mit dem Eigenwertkriterium sieht man ja sofort: pos. semidefinit, also keine Aussage über Extremwerte möglich.
Gruß v. Angela
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Hi.
d.h. bei einer 2x2 Matrix müsste die erste unterdet. negativ sein und die zweite müsste positiv sein, damit die matrix neg. definit ist?
oder habe ich das jetzt wieder vertauscht?
gruß
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> Hi.
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> d.h. bei einer 2x2 Matrix müsste die erste unterdet.
> negativ sein und die zweite müsste positiv sein, damit die
> matrix neg. definit ist?
>
> oder habe ich das jetzt wieder vertauscht?
Hallo,
weil ich nicht weiß, was bei Dir erste und zweite ist, kann ich's nicht entscheiden.
Ich schreibe Dir jetzt mal auf, wie das mit der Definitheit bei symmetrischen 2x2-Matrizen ist:
pos definit= Determinante positiv, und oberes linkes Element positiv
neg definit= Determinante positiv, oberes linkes Element negativ
indefinit= Determinante negativ
semidefinit= Det. und/oder oberes linkes Element sind=0
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:40 Sa 05.07.2008 | | Autor: | jaruleking |
ok, danke euch.
gruß
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> Du musst alle
> Hauptunterdeterminanten/Hauptabschnittsdeterminanten
> (Hauptminoren) berechnen.
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> Wenn alle positiv sind, ist die Matrix pos. definit, wenn
> alle negativ sind, so ist die Matrix neg. definit,....
Hallo,
das stimmt nicht.
Es ist A negativ definit genau dann, wenn -A positiv definit ist.
Die ist der Fall, wenn die geraden Hauptminoren positiv sind und die ungeraden negativ.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
du hast natürlich recht, vielen Dank für's Aufpassen.
Ich hab's schnell geändert, vllt. merkt's ja keiner
Gruß
schachuzipus
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