Extremwerte von f(x,y) < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 Di 20.05.2008 | | Autor: | dave-o |
| Aufgabe | Bestimme die Extremwerte folgender Funktion:
[mm] f(x,y)=x^{4}+y^{4}-16\*x\*y
[/mm]
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die Vorgehensweise ist mir klar, habe die erste partiellen Ableitungen gebildet [mm] (f_{x}=4\*x^{3}-16\*y, f_{y}=4\*y^{3}-16\*x) [/mm] und suche nun nach [mm] x_{1},y_{1} [/mm] für die die beiden Ableitungen 0 ergeben. Also [mm] f_{x} [/mm] nach y umgestellt [mm] (y=\bruch{1}{4}\*x^{3}), [/mm] dann [mm] f_{y} [/mm] nach x umgestellt [mm] (x=\bruch{1}{4}\*y^{3}) [/mm] und eingesetzt in die erste Gleichung, ergibt bei mir folgende Gleichung: [mm] y=\bruch{1}{4}\*(\bruch{1}{4}\*y^{3})^{3}, [/mm] bzw. [mm] 0=\bruch{1}{256}\*y^{9}-y
[/mm]
Jetzt meine peinliche Frage: Hat jemand eine Idee wie und ob man jetzt _einfach_ auf die Nullstellen der letzten Gleichung (also ohne Newtonregel o.ä.) kommt oder muss man das jetzt so umständlich lösen? Zwei Nullstellen habe ich schon so gefunden: y=0 (sieht man) und y=2 (ausprobieren). Vielen Dank im vorraus für eure Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
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> Bestimme die Extremwerte folgender Funktion:
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> [mm]f(x,y)=x^{4}+y^{4}-16\*x\*y[/mm]
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> die Vorgehensweise ist mir klar, habe die erste partiellen
> Ableitungen gebildet [mm](f_{x}=4\*x^{3}-16\*y, f_{y}=4\*y^{3}-16\*x)[/mm]
> und suche nun nach [mm]x_{1},y_{1}[/mm] für die die beiden
> Ableitungen 0 ergeben. Also [mm]f_{x}[/mm] nach y umgestellt
> [mm](y=\bruch{1}{4}\*x^{3}),[/mm] dann [mm]f_{y}[/mm] nach x umgestellt
> [mm](x=\bruch{1}{4}\*y^{3})[/mm] und eingesetzt in die erste
> Gleichung, ergibt bei mir folgende Gleichung:
> [mm]0=\bruch{1}{4}\*(\bruch{1}{4}\*y^{3})^{3},[/mm] bzw.
> [mm]0=\bruch{1}{256}\*y^{9}[/mm]
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> Jetzt meine peinliche Frage: Hat jemand eine Idee wie und
> ob man jetzt _einfach_ auf die Nullstellen der letzten
> Gleichung (also ohne Newtonregel o.ä.) kommt oder muss man
> das jetzt so umständlich lösen? Zwei Nullstellen habe ich
> schon so gefunden: y=0 (sieht man) und y=2 (ausprobieren).
> Vielen Dank im vorraus für eure Hilfe
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> Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum
> gestellt.
Lösung der letzten Gleichung ist nur y=0 (y=2 ist keine Lösung).
Gruss al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Di 20.05.2008 | | Autor: | dave-o |
Hallo, vielen Dank für Deine Antwort, habe zu allem Überfluss auch noch die letzte Gleichung falsch aufgeschrieben gehabt, habe sie jetzt aber im Ursprungsbeitrag korrigiert. Demnach ist 2 eine Lösung. Kannst Du mir dennoch sagen, wie Du so schnell die Nullstellen ermitteln konntest (bei einem Polynom 9. Grades)?
Gruß
dave-o
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 Di 20.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
[mm]\bruch{1}{256}*y^9-y=(\bruch{1}{256}*y^8-1)*y=((\bruch{y}{2})^8-1)*y=0 \gdw (y=0 \vee (\bruch{y}{2})^8=1) \gdw (y=0 \vee |\bruch{y}{2}|=1) \gdw (y=0 \vee y=2 \vee y=-2)[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 Di 20.05.2008 | | Autor: | dave-o |
ah cool, genau so was habe ich gesucht. Komme da von selber immer sehr schwer drauf. Vielen Dank!
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