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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f durch
f(x) = [mm] x^4 [/mm] + [mm] 2x^2 [/mm] +1
Gesucht ist der maximale Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seiten parallel zu den Koordinatenachsen und durch den Punkt P (u|f(u)) mit 0 < u < 1. |
-- Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Guten Tag allerseits!
Dies ist mein erster Beitrag.
Ich hoffe, dass meine Mathekenntnisse bald soweit fortgeschritten sein werden, dass ich nicht nur selber Aufgaben bzw. Probleme aufwerfen kann, sondern auch zu der Lösung solcher beitrage...
Zur (eigentlichen) Frage:
"Gegeben ist die Funktion f durch
f(x) = [mm] x^4 [/mm] + [mm] 2x^2 [/mm] +1
Gesucht ist der maximale Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seiten parallel zu den Koordinatenachsen und durch den Punkt P (u|f(u)) mit 0 < u < 1."
Meine Lösung.
Zu erst einmal: Die Formulierung (des Leherers) ist nicht sonderlich glücklich. Nach seinen Bedinungen (da keine Verbindung zwischen Rechteck und Graph in der Aufgabenstellung) hat die Fläche 1FE und P liegt bei 1|1 :-D ....
Aber so ist es sicher nicht gemeint.
Also habe ich mich mal daran gesetzt und das ganze graphisch dargestellt.
[Link entfernt]
Wem der Link zu heiß ist, hier die Imageshack Version:
![[]](/images/popup.gif) [img=http://img444.imageshack.us/img444/6008/graphud2.th.png]
Auf dem Bild kann man erkennen (mittels Geogebra erstellt), dass der Graph im ersten Quadranten den Bereich 0 bis 1 in beiden Achsen abdeckt. Da 0 < u < 1, muss u irgendwo dazischen liegen.
Da es meine erste selbst zu lösende Extremwertaufgabe (nach zwei vorgerechneten Beispielen) war, kam ich nicht sofort auf eine Lösung. Mein Ansatz:
A = a * b => Max
A = a * b =< 1
a + b =< 2
Ich habe u mit b und x gleichgesetzt.
etc...
Nun habe ich mich der ersten Bedingung bedient und in die Funktion eingesetzt.
=> f(b) = [mm] x^5 [/mm] + [mm] 2x^3 [/mm] + b
Nun habe ich die erste Ableitung etc. erstellt.
Ergebnis ist der auf der Graphik als C eingezeichnete Punkt.
C liegt bei [mm] \wurzel{\bruch{1}{5}} [/mm] und 0,286
C liegt aber weder auf dem Graphen noch ist es annähernd der Maximalwert.
Daraufhin wagte ich einen Blick in mein Mathebuch, in dem eine recht ähnliche Aufgabe gestellt wurde. In dieser bediente man sich der Formel
A = 2ab
Und setzte diese ein.
Dies nahm ich auch mit dem meinigen Beispiel vor und erhielt ein Maximum bei B(0.5|0.56) und ein Minimum bei P(0.7|0.26) (nicht eingezeichnet).
Das Maximum ist im Graphen zu sehen.
Bei einem Rechteck berechnet sich der Flächeninhalt meines Wissens durch die Multiplikation der Länge zweier orthogonal zueinander liegender Flächen....
Warum kommt also bei der Variante, welche ich erst verwendete das falsche und bei der mir nicht einleutenden Variante die richtige Lösung heraus?
Ich würde mich sehr über Antwort freuen und wünsche einen angenehmen Tag.
Mit freundlichen Grüßen!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:50 Sa 01.11.2008 | | Autor: | aram |
Hallo Transformer und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Warum sich das Leben schwer machen, wenn es auch einfach geht? Schau dir diesen Lösungsweg an und gehe noch mal deinen durch!
Wir haben die Funktion f(x) = [mm] x^4 [/mm] + [mm] 2x^2 [/mm] +1 und sehen sofort, dass diese symmetrisch zur y-achse ist.
Da die Funktion symmetrisch ist, betrachten wir nur die positive Seite der x-achse. Wir wissen auch, dass eine Seite des Rechtecks auf der x-achse liegt und sagen das ist Seite a. Entsprechend ist die Seite b mit der y-achse gleichsetzbar und das Rechteck berührt den Graphen der Funktion mit der Ecke (a;b) --> b ist abhängig von a
Da hier er Flächeninhalt eines Rechtecks gefragt ist, stellt sich unsere Hauptbedingung so dar: HB-> A = a*b
A(x;y) = x*y
Unsere Nebenbedingung ist die Funktion selber.
NB-> y = [mm] x^4 [/mm] + [mm] 2x^2 [/mm] +1
Das ganze eingesetzt, kommen wir zu unseren Zielfunktion
ZF-> A(x) = [mm] x*(x^4 [/mm] + [mm] 2x^2 [/mm] +1)
A(x) = [mm] x^5 [/mm] + [mm] 2x^3 [/mm] + x
Ab hier geht der wohl gewohnte Weg: 1. Ableitung bilden, gleich Null setzen und die möglichen x-werte bestimmen. Von diesen suchst du dir den brauchbaren aus (z.B. fallen die Werte weg, die nicht im Intervall liegen).
Wenn du keinen Fehler machst, kommst du so zu deinem gesuchten Ergebnis. Vergiss aber nicht am Ende die Fläche zu verdoppeln, da wir nur eine Seite und somit nur die Hälfte berechnet des Rechteks berechnet haben.
Mfg Aram
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| Aufgabe | | f(x) = [mm] x^4 [/mm] - [mm] 2x^2 [/mm] + 1 |
Herzlichen Danke für deine offensichtlich noch sehr spät und sehr schnell abgegebene Antwort!
Da es gestern schon reichlich spät war, als ich den Forenbeitrag verfasste und im digitalen Archiv verewigte, habe ich einen Fehler bei dem Abtippen der AUFGABE gemacht. :(
Schande über mein Haupt.
Die Korrektur dieser sieht man nun am Kopf dieses Beitrages.
Danke für deine Erklärungen! Allerdings glaube ich, dass ich mein Anliegen missverständlich dargelegt habe (was auch an der Graphik liegen könnte).
Ich habe sie überarbeitet und erneut hochgeladen:
[Link entfernt]
Falls nicht funktionstüchtig, imagshack:
[Externes Bild http://img520.imageshack.us/img520/1533/graph2nl9.th.png]
Wenn ich jetzt genau deinem Ratschlag nachgehe, so wie ich es zuvor gemacht hatte, komme ich zu folgendem Rechenweg:
A = y * x
Einsetzen:
f(x) = [mm] x^4 -2x^2 [/mm] +1
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) = [mm] x^5 -2x^3 [/mm] + x
Soweit so gut.
Ableitungen:
f'(x) = [mm] 5x^4 [/mm] - [mm] 6x^2 [/mm] + 1
f''(x) = [mm] 20x^3 [/mm] - 12x
etc.
Zum Ermitteln der Nullstellen nehme ich nun die Substitution und die Anwendung der p/q-Formel vor:
z = [mm] x^2
[/mm]
In f'(x)= [mm] 5z^2 [/mm] - 6x + 1
Gleichsetzen mit Null zum Ermitteln der Extrema
f'(x) = 0 [mm] \gdw [/mm] In f'(x)= [mm] 5z^2 [/mm] - 6x + 1 = 0 /:5
[mm] z^2 [/mm] - [mm] \bruch{6}{5}x [/mm] + [mm] \bruch{1}{5} [/mm] = 0
[mm] z_{1},z_{2}= [/mm] + [mm] \bruch{3}{5} \pm \wurzel{\bruch{9}{25}-\bruch{5}{25}}
[/mm]
[mm] z_{1} [/mm] = + [mm] \bruch{3}{5} [/mm] + [mm] \bruch{2}{5} [/mm] = 1
[mm] z_{2} [/mm] = + [mm] \bruch{3}{5} [/mm] - [mm] \bruch{2}{5} [/mm] = [mm] \bruch{1}{5}
[/mm]
Resub:
[mm] \wurzel{z_{1}} [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1
[mm] \wurzel{z_{2}} [/mm] = [mm] \pm \wurzel{\bruch{1}{5}}
[/mm]
Schauen ob Minima Maxima:
f''(x)= f''(x) = [mm] 20x^3 [/mm] - 12x
f''(1) = 20 - 12 = 8 > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] mögliches Minimum
f''(-1) = -20 + 8 = -12 < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] mögliches Maximum
f''(x) = [mm] 20x^3 [/mm] - 12x
[mm] f''(\wurzel{\bruch{1}{5}}) [/mm] = [mm] 20*(\wurzel{\bruch{1}{5}})^3 [/mm] - [mm] 12(\wurzel{\bruch{1}{5}}) [/mm] = -3.58 < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] Mögliches Maximum
[mm] f''(-\wurzel{\bruch{1}{5}}) [/mm] = [mm] 20*(-\wurzel{\bruch{1}{5}})^3 [/mm] - [mm] 12(-\wurzel{\bruch{1}{5}}) [/mm] = +3.58 > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] Mögliches Minimum
Funktionswerte:
f(x) = [mm] x^5 -2x^3 [/mm] + x
f(1) = 1 -2 + 1 = 0
f(-1) = -1 +2 -1 = 0
[mm] f(\wurzel{\bruch{1}{5}}) [/mm] = [mm] (\wurzel{\bruch{1}{5}})^5 -2(\wurzel{\bruch{1}{5}})^3 [/mm] + [mm] \wurzel{\bruch{1}{5}} [/mm] = 0.29
Den nächsten Spar ich mir nun einmal.
[mm] \bruch{(\wurzel{\bruch{1}{5}})^5 -2(\wurzel{\bruch{1}{5}})^3 + \wurzel{\bruch{1}{5}}}{\wurzel{\bruch{1}{5}}} [/mm] = 0.64
Den Rest klemm ich mir nun....
[mm] P(\wurzel{\bruch{1}{5}}|0.64)
[/mm]
Ist das so richtig?
Wenn ja sehe ich auch meinen Fehler vom letzten mal:
Ich habe vergessen, die Zielfunktion durch x zu teilen, um auf y zu kommen.
Stattdessen habe ich für Punkt C als y den Flächeninhalt hergenommen.
Au weiha...
Die andere eingezeichnete Fläche ergibt sich daraus, dass ich annahm das der hier beschriebene Rechenweg falsch wr und ich deswegen auf mein Mathebuch zurückgriff.....
Tja, manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht (also mein Rechenfehler fiehl mir erst während des Rechnens gerade auf... war wohl gestern zu spät).
Kann mir denn nun jemand sagen, ob ich meine Sehfähigkiet wiedererlangt habe? :-D
Mfg, und einen schönen Tag wünschend!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:58 Sa 01.11.2008 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, deine Darstellung entspricht aber nicht der Funktion [mm] f(x)=x^{4}+2x^{2}+1, [/mm] Steffi
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Richtig, weil ich die Funktion falsch angeschrieben hatte.
Deswegen habe ich im kürzlich verfassten Beitrag folgendes geschrieben:
"Da es gestern schon reichlich spät war, als ich den Forenbeitrag verfasste und im digitalen Archiv verewigte, habe ich einen Fehler bei dem Abtippen der AUFGABE gemacht. :(
Schande über mein Haupt.
Die Korrektur dieser sieht man nun am Kopf dieses Beitrages."
Ich hoffe das ist ok. Das heißt die Aufgabe bleibt die selbe, bis auf das Vorzeichen. Der Verständigkeit halber hier noch einmal die gesamte (richtige) Aufgabe:
Gegeben ist die Funktion f durch
| Aufgabe | f(x) = [mm] x^4 [/mm] - [mm] 2x^2 [/mm] +1
Gesucht ist der maximale Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seiten parallel zu den Koordinatenachsen und durch den Punkt P (u|f(u)) mit 0 < u < 1. |
Diese Aufgabe ich die tatsächlich gestellte etc.
Ich wollte wegen eines kleines Vertippers nicht ein neues Diskussionsthema eröffnen und das Forum "flooden"...
Ich hoffe das ist ok.
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Hallo,
bis zum Nachweis, ob Maximum oder Minimum ist alles korrekt, jetzt möchtest du [mm] f(\wurzel{\bruch{1}{5}}) [/mm] berechnen, aber mit der Funktion [mm] f(x)=x^{4}-2x^{2}+1, [/mm] ist doch einfacher, als dein Weg, der Punkt [mm] P(\wurzel{\bruch{1}{5}}; [/mm] 0,64) ist korrekt, deine Sehfähigkeit ist also wieder ok, Steffi
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Danke euch beiden für eure promten und kompetenten Antworten!
Wie gesagt, war meine erste selbgerechnete Extremwertaufgabe und deswegen hatte ich ein Brett vorm Kopf...
Danke nochmal und schönen Tag noch!
Mit freundlichen Grüßen, Transformer
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![[]](http://img444.imageshack.us/my.php?image=graphud2.png){kind=small}
[img=http://img444.imageshack.us/img444/6008/graphud2.th.png]![[]](http://img520.imageshack.us/my.php?image=graph2nl9.png){kind=small}
[Externes Bild http://img520.imageshack.us/img520/1533/graph2nl9.th.png]