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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 Mi 28.01.2009 | | Autor: | starkurd |
Guten Abend alle zusammen,
ich habe folgendes Problem.Uns wurde eine Extremwertaufgabe diktiert,die folgende Informationen enthält.
An einem geradlinigen Kanal soll ein rechteckiges Grundstück abgesteckt werden.
An den 3 nicht am Kanal liegenden Seiten soll das Grundstück umzäunt werden.
Die Grundfläche von [mm] 5000m^2 [/mm] soll vom kürzesten Zaun begrenzt werden.
Ich habe heute kranheitsbedingt gefehlt-ist unser neues Thema!
Leider habe ich keinen Schimmer,was ich hier machen soll und wie ich diese Aufgabe überhaupt angehen soll.
:-(
Ich danke euch im Voraus für eure Unterstützung.
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Hallo starkurd,
> Guten Abend alle zusammen,
>
> ich habe folgendes Problem.Uns wurde eine Extremwertaufgabe
> diktiert,die folgende Informationen enthält.
>
> An einem geradlinigen Kanal soll ein rechteckiges
> Grundstück abgesteckt werden.
> An den 3 nicht am Kanal liegenden Seiten soll das
> Grundstück umzäunt werden.
> Die Grundfläche von [mm]5000m^2[/mm] soll vom kürzesten Zaun
> begrenzt werden.
>
> Ich habe heute kranheitsbedingt gefehlt-ist unser neues
> Thema!
> Leider habe ich keinen Schimmer,was ich hier machen soll
> und wie ich diese Aufgabe überhaupt angehen soll.
> :-(
Hier sollst Du den Umfang des Zaunes unter der Nebenbedingung,
daß die Fläche [mm]5000 m^{2}[/mm] beträgt, minimieren.
>
>
> Ich danke euch im Voraus für eure Unterstützung.
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Mi 28.01.2009 | | Autor: | starkurd |
Hallo Mathe Power,
also habe ich dann folgende Infos:
Formel für den Umfang eines Rechtecks!
Aber wie mache ich das mit dem Minimieren!
Nochmals danke....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo starkud!
Da die Zaunlänge minimiert werden soll, ist die Zaunlänge (= Umfang) die sogenannte Hauptbedingung:
$$u(a;b) \ = \ 2a+b$$
Der gegebene Flächeninhalt des Rechteckes mit $5000 \ [mm] \text{m}^2$ [/mm] stellt die Nebenbedingung dar:
$$A \ = \ a*b \ = \ 5000$$
Stelle diese Gleichung nun z.B. nach $b \ = \ ...$ um und setze dies in die Hauptbedingung ein.
Damit hast Du dann eine Zielfunktion mit nur noch einer Unbekannten. Weiter dann also mit Extremwertberechnung (Nullstellen der 1. Ableitung etc.) .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Mi 28.01.2009 | | Autor: | starkurd |
Hallo Loddar,
da ich jetzt die Haupt- und Nebenbedingungen habe,hast du mich darauf hingewiesen,dass ich jetzt die Nullstellen usw berechnen muss!
Das bedeutet doch,dass ich aus den Bedingungen eine Gleichung aufstellen kann und mit dieser kann ich dann die Extremwertprobleme lösen?
Ist nur das Problem,ob ich da richtig liege mit meinen Gedanken?
Hochpunkt,Tiefpunkt,Wendepunkt?
das ist doch falsch oder wie soll ich das verstehen?
Vielen Dank schonmal .....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Jojo987 |
Hallo,
mit Hochpunkt und Tiefpunkt liegst du gar nicht so falsch. Beides sind Extrempunkte.
Nun was heißt Extrempunkt... ? Der liegt doch definitionsgemäß an dem Punkt wo die Steigung der Funktion gleich 0 ist. Die Steigung ist unsere erste Ableitung und daher ist der Extremwert bei
f'(x)=0
Hier hast du 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Umfang U und die Abmaße a und b. Aus 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten lässt sich durch eleminiern eine Gleichung mit 2 unbekannten Formen wie Loddar schon gesagt hat. Wenn du diese Gleichung nun nach U auflöst hast du formal: Umfang = ....
in Abhängigkeit von einer Variablen (a oder b). Das ist jetzt quasi deine "Umfangsfunktion". Gut und jetzt kannst du selber weitermachen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo starkud!
Da entfleucht und veschwindet doch einfach so eine Variable aus Deiner Gleichung ...
Die umgeformte Nebenbedingung muss natürlich lauten:
$$b \ = \ [mm] \bruch{5000}{\red{a}}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Mi 28.01.2009 | | Autor: | starkurd |
Hallo Loddar,
genau das war meine Befürchtung... 
jetzt habe ich das mal schnell eingesetzt und komme jetzt auf
U=10.000
ist es dann richtig,wenn ich dann so vorgehe,wie ich das vorhin eläutert habe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo starkud!
Wenn ich $b \ = \ [mm] \bruch{5000}{a}$ [/mm] in die Umfangsfromel einsetze, erhalt ich:
$$u(a) \ = \ [mm] 2*a+\bruch{5000}{a} [/mm] \ = \ [mm] 2*a+5000*a^{-1}$$
[/mm]
Nun das Minimum berechnen: 1. Ableitung bilden und dann dessen Nullstelle(n).
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:08 Mi 28.01.2009 | | Autor: | starkurd |
Hallo,
ich danke euch für eure Unterstützung und eure Geduld....
werde jetzt mal die Ableitungen bilden und mich zu gegebener zeit wieder melden.
Wenn ich die Nullstellen berechnet habe,ist dann meine Aufgabe erledigt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Mi 28.01.2009 | | Autor: | starkurd |
Hallo nochmals,
die ableitung lautet bei mir wie folgt:
[mm] u'(a)=2-5000a^{-2}
[/mm]
ich weiß,dass ich hier eine potenzregel beachten muss!
aber welche und wie rechne ich weiter?
danke.....
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Hallo,
[mm] u'(a)=2-\bruch{5000}{a^{2}}
[/mm]
jetzt 1. Ableitung gleich Null setzen
[mm] 0=2-\bruch{5000}{a^{2}}
[/mm]
[mm] 2=\bruch{5000}{a^{2}}
[/mm]
[mm] a^{2}=2500
[/mm]
[mm] a_1= [/mm] ...
[mm] a_2= [/mm] ... (eine Lösung entfällt)
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Mi 28.01.2009 | | Autor: | starkurd |
Hallo Steffi,
das müsste es jetzt gewesen sein oder?
ich danke dir für deine unterstützung.....
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Hallo, und ein klares NEIN, es sind doch die Längen der Seiten a und b des Grundstückes anzugeben, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Mi 28.01.2009 | | Autor: | starkurd |
Hallo Steffi,
also muss ich jetzt [mm] a_1 [/mm] einsetzen in A=a*b
da ich die grundstücksgröße habe,kann ich einfach einsetzen.
oder? :-(
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Hallo starkurd,
> Hallo Steffi,
>
> also muss ich jetzt [mm]a_1[/mm] einsetzen in A=a*b
> da ich die grundstücksgröße habe,kann ich einfach
> einsetzen.
>
> oder? :-(
Ja, das kannst Du machen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Mi 28.01.2009 | | Autor: | starkurd |
Hallo,
habe für b=100 ausgerechnet
ich bedanke mich nochmal für eurer Hilfestellung.....
MFG
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