Extremwertproblem < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:21 Di 18.10.2011 | | Autor: | volk |
| Aufgabe | [mm] f:{\IR}^2{\to}{\R}{\mapsto}e^{x^2y}-2y^2-4y
[/mm]
Berechnen Sie die lokalen Extrema von f und bestimmen ob lokale Maxima oder Minima vorliegen |
Hallo,
ich habe eine Frage im Bezug zu den kritischen Punkten.
Als Gleichungen erhalte ich
[mm] x^2e^{x^2y}-4y-4=0
[/mm]
[mm] 2xy^{x^2y}=0
[/mm]
Aus der letzten folgt x=0 und [mm] y{\not=}0 [/mm] oder y=0 und [mm] x{\not=}0
[/mm]
Eingesezt in die erste Gleichung folgen als kritische Punkte [mm] P_{1}=(0/-1) P_{2}=(2/0) P_{3}=(-2/0)
[/mm]
Die Hesse-Marix lautet
[mm] \pmat{ 2ye^{x^2y}+4x^2y^2e^{x^2y^2} & 2xe^{x^2y}(1+x^2y) \\ 2xe^{x^2y}(1+x^2y) & x^4e^{x^2y}-4 }
[/mm]
Ist diese Unterscheidung x=0 und [mm] y{\not=}0 [/mm] oder y=0 und [mm] x{\not=}0 [/mm] richtig? Man sieht ja schon an der Hesse-Matrix, dass y nicht Null sein darf, da das Element [mm] H_{1,1} [/mm] in der Matrix dann Null ist und sie somit indefinit.
Grüße
volk
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:30 Di 18.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f:{\IR}^2{\to}{\R}{\mapsto}e^{x^2y}-2y^2-4y[/mm]
>
> Berechnen Sie die lokalen Extrema von f und bestimmen ob
> lokale Maxima oder Minima vorliegen
> Hallo,
> ich habe eine Frage im Bezug zu den kritischen Punkten.
> Als Gleichungen erhalte ich
> [mm]x^2e^{x^2y}-4y-4=0[/mm]
> [mm]2xy^{x^2y}=0[/mm]
>
> Aus der letzten folgt x=0 und [mm]y{\not=}0[/mm] oder y=0 und
> [mm]x{\not=}0[/mm]
> Eingesezt in die erste Gleichung folgen als kritische
> Punkte [mm]P_{1}=(0/-1) P_{2}=(2/0) P_{3}=(-2/0)[/mm]
Stimmt.
>
> Die Hesse-Marix lautet
> [mm]\pmat{ 2ye^{x^2y}+4x^2y^2e^{x^2y^2} & 2xe^{x^2y}(1+x^2y) \\ 2xe^{x^2y}(1+x^2y) & x^4e^{x^2y}-4 }[/mm]
>
> Ist diese Unterscheidung x=0 und [mm]y{\not=}0[/mm] oder y=0 und
> [mm]x{\not=}0[/mm] richtig?
Ja
> Man sieht ja schon an der Hesse-Matrix,
> dass y nicht Null sein darf,
Wieso darf y nicht Null sein ?
> da das Element [mm]H_{1,1}[/mm] in der
> Matrix dann Null ist und sie somit indefinit.
Ja, die Hessematrix ist in (0|2) indefinit und das bedeutet ?
Edit: ich meinte natürlich (2|0)
FRED
>
> Grüße
> volk
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 Di 18.10.2011 | | Autor: | volk |
Hallo fred,
> > Man sieht ja schon an der Hesse-Matrix,
> > dass y nicht Null sein darf,
>
> Wieso darf y nicht Null sein ?
y darf schon Null sein, aber es gibt kein Maxima, das die y-Koordinate Null hat, da ja sonst die Hesse-Matrix indefinit wäre.
>
> > da das Element [mm]H_{1,1}[/mm] in der
> > Matrix dann Null ist und sie somit indefinit.
>
> Ja, die Hessematrix ist in (0|2) indefinit und das bedeutet
> ?
Wenn die Hesse-Matrix in einem kritischen Punkt Null ist, befindet sich an dem Punkt ein Sattelpunkt. Das wäre bei meinem Beispiel in den Punkten (2,0) und (-2,0) der Fall. Dort sind Sattelpunkte. Einen Extrempunkt gibt es nur im Punkt (0/-1). Da die Hesse-Matrix in dem Punkt negativ definit ist, handelt es sich um ein Maxima.
Grüße,
volk
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:58 Di 18.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred,
>
> > > Man sieht ja schon an der Hesse-Matrix,
> > > dass y nicht Null sein darf,
> >
> > Wieso darf y nicht Null sein ?
>
> y darf schon Null sein, aber es gibt kein Maxima,
Singular: Maximum; Plural: Maxima
> das die
> y-Koordinate Null hat, da ja sonst die Hesse-Matrix
> indefinit wäre.
>
> >
> > > da das Element [mm]H_{1,1}[/mm] in der
> > > Matrix dann Null ist und sie somit indefinit.
> >
> > Ja, die Hessematrix ist in (0|2) indefinit und das bedeutet
> > ?
Ich meinte oben natürlich den Punkt (2|0)
>
> Wenn die Hesse-Matrix in einem kritischen Punkt Null ist,
> befindet sich an dem Punkt ein Sattelpunkt.
> Das wäre bei
> meinem Beispiel in den Punkten (2,0) und (-2,0) der Fall.
Nein , in diesen Punkten ist die Hessematrix nicht die Nullmatrix !
In diesen Punkten ist die Hessematrix jeweils indefinit.
> Dort sind Sattelpunkte. Einen Extrempunkt gibt es nur im
> Punkt (0/-1). Da die Hesse-Matrix in dem Punkt negativ
> definit ist, handelt es sich um ein Maxima.
Das stimmt.
FRED
>
> Grüße,
> volk
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:09 Di 18.10.2011 | | Autor: | volk |
> > Wenn die Hesse-Matrix in einem kritischen Punkt Null ist,
> > befindet sich an dem Punkt ein Sattelpunkt.
>
> > Das wäre bei
> > meinem Beispiel in den Punkten (2,0) und (-2,0) der Fall.
>
> Nein , in diesen Punkten ist die Hessematrix nicht die
> Nullmatrix !
>
> In diesen Punkten ist die Hessematrix jeweils indefinit.
Ich meinte natürlich nicht die Nullmatrix, sondern dass das Matrixelement [mm] H_{1,1} [/mm] jeweils Null ist und die Matrix daher indefinit ist.
Vielen Dank
volk
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