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Habe folgende Frage:
Gegeben sei die Funktion [mm] f(x,y)=x^3-3xy+1,5y^2-39x+21y.
[/mm]
Bestimmen Sie die Extrempunkte von g.
Also habe ich durch die partiellen Ableitungen den Gradienten bestimmt:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] = [mm] 3x^2-3y-39 [/mm] und
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] = -3x+3y+21.
Der Gradient von f ist also grad(f) = [mm] \vektor{ 3x^2-3y-39\\-3x+3y+21}.
[/mm]
Dieser muss den Wert 0 annehmen.
Es gilt 3x = 3y+21 [mm] \gdw [/mm] x = y+7 (einsetzen in 1. Gleichung)
[mm] 3(y+7)^2-3y-39 [/mm] = 0 [mm] \gdw y_{1} [/mm] = -4 und [mm] y_{2} [/mm] = -9. Diese Ergebnisse eingesetzt in die 2. Gleichung ergeben: -3x = -9 [mm] \gdw x_{1} [/mm] = -3 und -3x-27+21 = 0 [mm] \gdw x_{2} [/mm] = -2.
Jetzt kommt meine Frage? Was sind jetzt die extremwertverdächtigen Stellen? P1(x1/y1) und P2 (x2/y2)? Oder gehören P3(x1/y2) und P4 (x2/y1) auch dazu? D.h. sind ALLGEMEIN die extremwertverdächtigen Stellen lediglich die zusammengehören x und y Werte (x1 und y1, x2 und y2) oder alle Kombinationen aus den erhaltenden Werten (in diesem Fall 4)? Oder kommt das auf die Form des Gradienten an?
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Morpheus,
> Habe folgende Frage:
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> Gegeben sei die Funktion [mm]f(x,y)=x^3-3xy+1,5y^2-39x+21y.[/mm]
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> Bestimmen Sie die Extrempunkte von g.
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> Also habe ich durch die partiellen Ableitungen den
> Gradienten bestimmt:
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> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] = [mm]3x^2-3y-39[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") und
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm] = -3x+3y+21.
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> Der Gradient von f ist also grad(f) = [mm]\vektor{ 3x^2-3y-39\\-3x+3y+21}.[/mm]
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> Dieser muss den Wert 0 annehmen.
> Es gilt 3x = 3y+21 [mm]\gdw[/mm] x = y+7 (einsetzen in 1.
> Gleichung)
> [mm]3(y+7)^2-3y-39[/mm] = 0 [mm]\gdw y_{1}[/mm] = -4 und [mm]y_{2}[/mm] = -9. Diese
> Ergebnisse eingesetzt in die 2. Gleichung ergeben: -3x = -9
> [mm]\gdw x_{1}[/mm] = -3 und -3x-27+21 = 0 [mm]\gdw x_{2}[/mm] = -2.
> Jetzt kommt meine Frage? Was sind jetzt die
> extremwertverdächtigen Stellen? P1(x1/y1) und P2 (x2/y2)?
> Oder gehören P3(x1/y2) und P4 (x2/y1) auch dazu? D.h. sind
> ALLGEMEIN die extremwertverdächtigen Stellen lediglich die
> zusammengehören x und y Werte (x1 und y1, x2 und y2) oder
> alle Kombinationen aus den erhaltenden Werten (in diesem
> Fall 4)? Oder kommt das auf die Form des Gradienten an?
Die Kandidaten für Extrema (auch stationäre Punkte genannt) sind diejenigen (x,y), für die sowohl [mm] $f_x(x,y)=0$ [/mm] ist als auch [mm] $f_y(x,y)=0$ [/mm] ist
Das sind hier also genau die Punkte [mm] $(x_1,y_1)=(3,-4)$ [/mm] und [mm] $(x_2,y_2)=(-2,-9)$
[/mm]
Bei den anderen Kombinationen, die du erwähnt hast, gilt [mm] $f_x(\tilde{x},\tilde{y})=f_y(\tilde{x},\tilde{y})=0$ [/mm] nicht - rechne nach ...
Ob es tatsächlich Extrema sind und wenn ja, welchen Typs diese sind, kannst du über die Hessematrix (in den stat. Punkten) bestimmen ...
> Vielen Dank
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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Ok, vielen Dank. Dann aber folgende Frage:
In meinem Buch ist mir folgende Aufgabe gegeben:
Bestimmen Sie mithilfe des Lagrange-Ansatzes die Stellen, an denen Extremwerte der Funktion [mm] f(x,y)=3-\bruch{3}{4}x-y [/mm] unter der Nebenbedingung [mm] 4x^2+4y^2=9 [/mm] liegen können.
Also habe ich die entsprechende Lagrange-Funktion aufgestellt:
[mm] L(x,y,\lambda)=3-\bruch{3}{4}x-y+\lambda(4x^2+4y^2-9) [/mm]
Diese hat den Gradienten grad(L) = [mm] \vektor{-\bruch{3}{4}+8\lambda x \\ -1+8\lambda y\\4x^2+4y^2-9}. [/mm] Dieser muss Null werden. Aus der zweiten Gleichung erhält man [mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{1}{8y}. [/mm] Setzt man das in die erste Gleichung ein, erhält man [mm] \bruch{x}{y} [/mm] = [mm] \bruch{3}{4} \gdw [/mm] x = [mm] \bruch{3}{4}y. [/mm] Aus der dritten erhält man dann y = [mm] \pm \bruch{6}{5}. [/mm] Für Lambda erhält man dann [mm] \lambda [/mm] = [mm] \pm \bruch{5}{48} [/mm] und für x= [mm] \pm \bruch{9}{10}. [/mm] Welche sind jetzt die extremwertverdächtigen Stellen? Lambda lasse ich ja außen vor, weil das ja nichts direkt mit den Extremwerten zu tun hat. Du meintest, extremwertverdächtige Stellen sind die Stellen, für die jede Gleichung Null wird. Sind jetzt die extremwertverdächtigen Stellen [mm] (\bruch{9}{10}, \bruch{6}{5}) [/mm] und [mm] (-\bruch{9}{10},- \bruch{6}{5} [/mm] ) oder gehört noch dazu [mm] (\bruch{9}{10}, -\bruch{6}{5}) [/mm] und [mm] (-\bruch{9}{10}, \bruch{6}{5}) [/mm] ? Im Buch steht die zuerst genannte Lösung. Allerdings wird die dritte Gleichung für alle Kombinationen Null. Komme hier durcheinander. Wie berücksichtige ich das Lambda? Denn die erste und die zweite Gleichung wird lediglich für y1/lambda1 und für y2/lambda2 gleich Null. Es geht ja aber um die die x und y Werte. Bitte helft mir.
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Aus der Gleichung [mm] $x=\bruch{3}{4}\,y$ [/mm] geht doch insbesondere
hervor, dass x und y dasselbe Vorzeichen haben
müssen.
Das einzige Problem ist, dass du durch die allzu
lockere Verwendung des [mm] \pm [/mm] - Symbols selber
Verwirrung schaffst. Verzichte auf dieses und
nimm dir die kleine Mühe, alle Lösungen fein
säuberlich aufzuschreiben und mit Indices
klar zu machen, welche Werte zusammengehören
und welche nicht !
LG Al-Chw.
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