F.Raum Endom. inj, nicht surj < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:27 Mo 27.04.2009 | | Autor: | ethernity |
| Aufgabe | | X=C([a,b]) sei der Banachraum der stetigen [mm] \IC-wertigen [/mm] Funktionen auf dem Intervall [a,b] mit der sup-Norm [mm] \parallel \dot \parallel_{\infty}. [/mm] Gib Beispiele von stetigen linearern Endomorphismen von X, die injektiv, aber nicht surjektiv und surjektiv, aber nicht injektiv sind. |
Meine erste Frage ist, hab ich das richtig verstanden das ich linear, stetige Abbildungen von X nach X finden soll?
Wobei Elemente aus X ja stetige Funktionen von [a,b] nach [mm] \IC [/mm] sind.
Die, die mir bis jetzt eingefallen sind: x [mm] \in [/mm] X, x [mm] \mapsto x^2, [/mm] x [mm] \mapsto \overline{x}, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] x+1
Passen alle nicht. Eine kleine Hilfe wäre nicht schlecht
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:42 Mo 27.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> X=C([a,b]) sei der Banachraum der stetigen [mm]\IC-wertigen[/mm]
> Funktionen auf dem Intervall [a,b] mit der sup-Norm
> [mm]\parallel \dot \parallel_{\infty}.[/mm] Gib Beispiele von
> stetigen linearern Endomorphismen von X, die injektiv, aber
> nicht surjektiv und surjektiv, aber nicht injektiv sind.
> Meine erste Frage ist, hab ich das richtig verstanden das
> ich linear, stetige Abbildungen von X nach X finden soll?
> Wobei Elemente aus X ja stetige Funktionen von [a,b] nach
> [mm]\IC[/mm] sind.
>
> Die, die mir bis jetzt eingefallen sind: x [mm]\in[/mm] X, x [mm]\mapsto x^2,[/mm]
> x [mm]\mapsto \overline{x},[/mm] x [mm]\mapsto[/mm] x+1
>
Die sind nicht mal linear !!!
> Passen alle nicht. Eine kleine Hilfe wäre nicht schlecht
>
>
Sei a = -1, b = 1 und [mm] \Phi: [/mm] C([a,b]) [mm] \to [/mm] C([a,b]) def. durch
[mm] \Phi(f)(x) [/mm] = [mm] \integral_{a}^{x}{f(t) dt}
[/mm]
Zeige: [mm] \Phi [/mm] ist linear, stetig, injektiv aber nicht surjektiv
FRED
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:05 Mo 27.04.2009 | | Autor: | ethernity |
Danke für den Tipp, das Integral war eine klasse hilfe und beweis, dass es induktiv, nicht surjektiv und linear ist ging leicht von der Hand.
Außerdem hast du mein denken schon mal in eine andere Richtung geleitet.
Was ich dann schonmal ausschließen kann für surjektiv, nicht injektiv wäre die Ableitung oder? Da ja nicht alles was stetig ist, differenzierbar ist.
Im Moment bin ich am überlegen ob man dafür die Fourierentwicklung nehmen kann diese wäre zumindest linear, aber ich bezweifle stark dass die nicht injektiv ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:36 Mo 27.04.2009 | | Autor: | ethernity |
Da der C([a,b]) eine unendliche Basis hat, könnte man doch eine Abbildung durch die Basiselemente [mm] a_n [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] definieren:
[mm] \Phi: (a_1,a_2,a_3,...) \mapsto (0,a_1,a_2,...)
[/mm]
Diese wäre Surjektiv aber nicht injektiv
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| Aufgabe | > Da der C([a,b]) eine unendliche Basis hat, könnte man doch
> eine Abbildung durch die Basiselemente [mm]a_n[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
> definieren:
> [mm]\Phi: (a_1,a_2,a_3,...) \mapsto (0,a_1,a_2,...)[/mm]
>
> Diese wäre Surjektiv aber nicht injektiv
> |
Ist das richtig so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 Mo 27.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Nein, s.u.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:38 Mo 27.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Da der C([a,b]) eine unendliche Basis hat, könnte man doch
> eine Abbildung durch die Basiselemente [mm]a_n[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
> definieren:
> [mm]\Phi: (a_1,a_2,a_3,...) \mapsto (0,a_1,a_2,...)[/mm]
>
Nein !
Jede Basis von C([a,b]) ist überabzählbar !!
FRED
> Diese wäre Surjektiv aber nicht injektiv
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:35 Mo 27.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Fred!
> > Da der C([a,b]) eine unendliche Basis hat, könnte man doch
> > eine Abbildung durch die Basiselemente [mm]a_n[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
> > definieren:
> > [mm]\Phi: (a_1,a_2,a_3,...) \mapsto (0,a_1,a_2,...)[/mm]
> >
>
> Nein !
>
>
> Jede Basis von C([a,b]) ist überabzählbar !!
Das ist an sich auch kein Problem, man waehlt halt eine abzaehlbare Teilmenge der Basis und macht das fuer diese Teilmenge, und die restlichen Basisvektoren werden einfach auf sich selber abgebildet. Insofern bekommt man damit schon einen Endomorphismus, der injektiv, aber nicht surjektiv ist (und mit der gleichen Konstruktion einen Endomorphismus der surjektiv, aber nicht injektiv ist, wenn man einen Shift in die andere Richtung macht).
Allerdings sind bei dieser Aufgabe stetige Endomorphismen gesucht. Und ich halte es fuer ziemlich unwahrscheinlich, dass der resultierende Endomorphismus stetig ist.
Ich wuerde sogar noch etwas staerkeres vermuten: naemlich dass man die abzaehlbare Teilmenge waehlen kann wie man will, und niemals etwas stetiges herauskommt. Weiss zufaellig grad jemand ob das stimmt oder nicht stimmt?
> > Diese wäre Surjektiv aber nicht injektiv
Nein, genau anders herum. Sie ist injektiv (es wird ja kein [mm] $a_i$ [/mm] weggeworfen), aber nicht surjektiv (der erste Basisvektor kommt im Ergebnis nie vor).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 Mo 27.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Danke für den Tipp, das Integral war eine klasse hilfe und
> beweis, dass es induktiv,
Du meinst sicher "injektiv"
> nicht surjektiv und linear ist
> ging leicht von der Hand.
>
> Außerdem hast du mein denken schon mal in eine andere
> Richtung geleitet.
> Was ich dann schonmal ausschließen kann für surjektiv,
> nicht injektiv wäre die Ableitung oder?
Der Ableitungsoperator ist nicht auf ganz C([a,b]) definiert !!!
FRED
> Da ja nicht alles
> was stetig ist, differenzierbar ist.
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> Im Moment bin ich am überlegen ob man dafür die
> Fourierentwicklung nehmen kann diese wäre zumindest linear,
> aber ich bezweifle stark dass die nicht injektiv ist.
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| Aufgabe | | Mir fehlt ein linearer, stetiger Endomorphismus von C([a,b]) der surjektiv aber nicht injektiv ist. |
> > Danke für den Tipp, das Integral war eine klasse hilfe und
> > beweis, dass es induktiv,
>
>
> Du meinst sicher "injektiv"
>
Ja meinte ich, passiert auf die schnelle
>
> > nicht surjektiv und linear ist
> > ging leicht von der Hand.
> >
> > Außerdem hast du mein denken schon mal in eine andere
> > Richtung geleitet.
> > Was ich dann schonmal ausschließen kann für surjektiv,
> > nicht injektiv wäre die Ableitung oder?
>
>
>
> Der Ableitungsoperator ist nicht auf ganz C([a,b])
> definiert !!!
>
> FRED
>
>
> > Da ja nicht alles
> > was stetig ist, differenzierbar ist.
> >
Sag ich ja :) wollte nur gewissheit haben.
> > Im Moment bin ich am überlegen ob man dafür die
> > Fourierentwicklung nehmen kann diese wäre zumindest linear,
> > aber ich bezweifle stark dass die nicht injektiv ist.
Und das C([a,b]) überabzählbar ist hatte ich dann leider auch rausgefunden :(
Danke erstma für die Hilfe. Mir fällt leider sonst kein Endomorphismus mehr ein, der surjektiv aber nicht injektiv ist.
Trotzdem schönen Abend noch !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 Mi 29.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Wie wärs damit:
[mm] $\Phi(f)(x) [/mm] := f(x/2)$
für $f [mm] \in [/mm] C[0,1]$ und $x [mm] \in [/mm] [0,1]$
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:38 Mo 27.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
Eine weitere Funktion, die injektiv, aber nicht surjektiv ist, ist [mm] $\Phi [/mm] : f [mm] \mapsto [/mm] f [mm] \cdot [/mm] (x - a)$.
Da die $f$ stetig sind ist $f(a)$ durch $f(x)$, $x > a$ eindeutig bestimmt, und aus $f [mm] \cdot [/mm] (x - a)$ laesst sich $f(x)$, $x > a$ herausfinden und somit auch $f(a)$ selber; deswegen ist [mm] $\Phi$ [/mm] injektiv.
Und surjektiv ist es nicht da [mm] $\Phi(f)(a) [/mm] = 0$ ist fuer alle $f$, und es in $C[a, b]$ auch etwa die konstante Funktion $f(x) = 1$ gibt mit $f(1) [mm] \neq [/mm] 0$.
LG Felix
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Danke :) jetz fehlt nurnoch nen lin stet Endomorphismus der surjektiv aber nicht injektiv ist
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:42 Di 28.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Danke :) jetz fehlt nurnoch nen lin stet Endomorphismus der
> surjektiv aber nicht injektiv ist
Tipp: Ist $[c, d]$ ein weiteres Intervall mit $[c, d] [mm] \subsetneqq [/mm] [a, b]$, so ist die Einschraenkungsabbildung $C[a, b] [mm] \to [/mm] C[c, d]$, $f [mm] \mapsto f|_{[c, d]}$ [/mm] surjektiv, aber nicht injektiv.
Daraus kannst dir einen surjektiven, aber nicht injektiven Endomorphismus auf $C[a, b]$ basteln.
LG Felix
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| Aufgabe | > Hallo!
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> > Danke :) jetz fehlt nurnoch nen lin stet Endomorphismus der
> > surjektiv aber nicht injektiv ist
>
> Tipp: Ist [mm][c, d][/mm] ein weiteres Intervall mit [mm][c, d] \subsetneqq [a, b][/mm],
> so ist die Einschraenkungsabbildung [mm]C[a, b] \to C[c, d][/mm], [mm]f \mapsto f|_{[c, d]}[/mm]
> surjektiv, aber nicht injektiv.
>
> Daraus kannst dir einen surjektiven, aber nicht injektiven
> Endomorphismus auf [mm]C[a, b][/mm] basteln.
>
> LG Felix
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Nun zu deinen Tipp hab ich noch ein paar Fragen:
Zunächst kann ich ja nicht nur die Einschränkungsabbildung nehmen.
Meine erste Idee wäre ein Komposition dieser Abbildung mit einer anderen.
Dabei müsste ich dann etwas so eine Komposition Basteln: Sei [mm][a,b] \subsetneqq [a',b'][/mm]. Dann müsste ich so eine Abbildung finden: [mm] C[a,b] \to C[a',b'] \to C[a,b][/mm] wobei beide Abbildungen surjektiv sein müssten, damit die Komposition wieder surjektiv ist.Nun müsste ich eine surjektive Fortsetzung der Funktionen von [a,b] nach [a',b'] finden.
Desweiteren habe ich einen Satz gefunden: Wenn das Bild einer surjektiven Funktion Dicht in der Menge liegt, lässt sich diese surjektiv Fortsetzen. Da hab ich mir gedacht: Wenn ich die Menge aller Polynome in C[a,b] nehme, zeige dass diese Dicht in C[a,b] liegt. Kann ich die Ableitungsfunktion doch auf ganz C[a,b] surjektiv Fortsetzen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 Di 28.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > > Danke :) jetz fehlt nurnoch nen lin stet Endomorphismus der
> > > surjektiv aber nicht injektiv ist
> >
> > Tipp: Ist [mm][c, d][/mm] ein weiteres Intervall mit [mm][c, d] \subsetneqq [a, b][/mm],
> > so ist die Einschraenkungsabbildung [mm]C[a, b] \to C[c, d][/mm], [mm]f \mapsto f|_{[c, d]}[/mm]
> > surjektiv, aber nicht injektiv.
> >
> > Daraus kannst dir einen surjektiven, aber nicht injektiven
> > Endomorphismus auf [mm]C[a, b][/mm] basteln.
> >
> > LG Felix
> >
> Nun zu deinen Tipp hab ich noch ein paar Fragen:
> Zunächst kann ich ja nicht nur die Einschränkungsabbildung
> nehmen.
>
> Meine erste Idee wäre ein Komposition dieser Abbildung mit
> einer anderen.
> Dabei müsste ich dann etwas so eine Komposition Basteln:
> Sei [mm][a,b] \subsetneqq [a',b'][/mm]. Dann müsste ich so eine
> Abbildung finden: [mm]C[a,b] \to C[a',b'] \to C[a,b][/mm] wobei
> beide Abbildungen surjektiv sein müssten, damit die
> Komposition wieder surjektiv ist.Nun müsste ich eine
> surjektive Fortsetzung der Funktionen von [a,b] nach
> [a',b'] finden.
Genau.
> Desweiteren habe ich einen Satz gefunden: Wenn das Bild
> einer surjektiven Funktion Dicht in der Menge liegt, lässt
> sich diese surjektiv Fortsetzen. Da hab ich mir gedacht:
> Wenn ich die Menge aller Polynome in C[a,b] nehme, zeige
> dass diese Dicht in C[a,b] liegt. Kann ich die
> Ableitungsfunktion doch auf ganz C[a,b] surjektiv
> Fortsetzen.
Das hoert sich unnoetig kompliziert an.
Mal einen Wink mit dem Zaunpfahl:
Wenn $f : [0, 1] [mm] \to \IR$ [/mm] eine stetige Funktion ist, dann ist $g : [0, 2] [mm] \to \IR$, [/mm] $x [mm] \mapsto f(\frac{1}{2} [/mm] x)$ auch eine. Und diese Abbildung $f [mm] \mapsto [/mm] g$ gibt einen Isomorphismus $C[0, 1] [mm] \to [/mm] C[0, 2]$.
LG Felix
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