F hoch stern tief 5 < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:08 Mi 20.04.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | Zeige, dass [mm] $\b{F}^{\*}_{5}$ [/mm] zyklisch ist. |
Hallo,
[mm] $\b{F}^{\*}_{5} [/mm] = [mm] \{1,2,3,4 \}$ [/mm]
Also die 1 ist ja hier ein Erzeuger und auch die -1. Wenn die zyklische Gruppe aus Potenzen des Erzeugers bestehen würde dann könnte ich ja :
$<1>:= [mm] \{1^{n} | n \in \IZ \}$ [/mm] schreiben.
Hier gilt ja für alle Elemente von [mm] $\b{F}^{\*}_{5} [/mm] = [mm] \{1,2,3,4 \}$ [/mm] dass man in dem man 1 zu sich selbst addiert darauf kommt. Daher ist es zyklisch.
Ist das formal so: $a:=1 [mm] ~\forall~ \tilde{x} \in \b{F}^{\*}_{5}~ \exists [/mm] n [mm] \in \IZ [/mm] : [mm] n\cdot [/mm] a = [mm] \tilde{x}$
[/mm]
richtig?
Danke und Gruss
kushkush
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:17 Mi 20.04.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Zeige, dass [mm]\b{F}^{\*}_{5}[/mm] zyklisch ist.
>
> Hallo,
>
> [mm]\b{F}^{\*}_{5} = \{1,2,3,4 \}[/mm]
>
>
> Also die 1 ist ja hier ein Erzeuger und auch die -1. Wenn
> die zyklische Gruppe aus Potenzen des Erzeugers bestehen
> würde dann könnte ich ja :
>
> [mm]<1>:= \{1^{n} | n \in \IZ \}[/mm] schreiben.
>
> Hier gilt ja für alle Elemente von [mm]\b{F}^{\*}_{5} = \{1,2,3,4 \}[/mm]
> dass man in dem man 1 zu sich selbst addiert darauf kommt.
> Daher ist es zyklisch.
>
> Ist das formal so: [mm]a:=1 ~\forall~ \tilde{x} \in \b{F}^{\*}_{5}~ \exists n \in \IZ : n\cdot a = \tilde{x}[/mm]
>
> richtig?
Vorsicht, [mm] $\IF_{5}^{\*}$ [/mm] ist keine additive Gruppe, da ja $1+4=0 [mm] \not\in \IF_{5}^{\*}$. [/mm] Das verletzt die Abgeschlossenheit der Menge unter der Additionsoperation. [mm] $\IF_{5}^{\*}$ [/mm] ist nur unter Multiplikation eine Gruppe, und 1 ist dann kein Erzeuger, wie du sicher siehst. Also musst du einen anderen suchen.
LG Lippel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:06 Mi 20.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> Vorsicht
Also 3 ist ein Erzeuger:
[mm] $3^{1} \equiv [/mm] 2 mod(5)$
[mm] $3^{2} \equiv [/mm] 4 mod(5)$
[mm] $3^{5} \equiv [/mm] 3 mod(5)$
[mm] $3^{4} \equiv [/mm] 1 mod(5)$
Formal : [mm] $<3>:=\{ 3^{n} | n \in \IZ \}$ [/mm] ?
> LG
Danke!
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:27 Mi 20.04.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Vorsicht
>
>
>
> Also 3 ist ein Erzeuger:
>
> [mm]3^{1} \equiv 2 mod(5)[/mm]
Na, das glaube ich nicht. Dazu musst du schon modulo 1 rechnen.
> [mm]3^{2} \equiv 4 mod(5)[/mm]
> [mm]3^{5} \equiv 3 mod(5)[/mm]
> [mm]3^{4} \equiv 1 mod(5)[/mm]
Entweder du nimmst 2 als Erzeuger (geht auch), oder du schreibst die richtigen Ergebnisse hin.
> Formal : [mm]<3>:=\{ 3^{n} | n \in \IZ \}[/mm] ?
Das ist die Definition. Das ist nicht das was du sagen willst.
Du willst [mm] $\langle [/mm] 3 [mm] \rangle [/mm] = [mm] \IF_5^\ast$ [/mm] schreiben, eventuell mit ${}= [mm] \{ 3, 4, 2, 1 \} [/mm] ={}$ dazwischen.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:53 Mi 20.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo!
< das glaube ich nicht
< du willst schreiben
Ok. Wieso hast du bei [mm] $\{3.4.2.1 \}$ [/mm] diese Reihenfolge gewählt? Wählt man das immer so, dass man mit der positiven Zahl mit dem geringstmöglichen Wert anfängt?
> LG
Danke
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:23 Mi 20.04.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Ok. Wieso hast du bei [mm]\{3.4.2.1 \}[/mm] diese Reihenfolge
> gewählt? Wählt man das immer so, dass man mit der
> positiven Zahl mit dem geringstmöglichen Wert anfängt?
Ich denke Felix wollte damit andeuten, dass [mm] $3^1=3, 3^2=9=4, 3^3=27=2, 3^4=81=1$. [/mm] Die Reihenfolge gibt also an, in welcher Reihenfolge die Zahlen als Dreierpotenzen auftauchen. Prinzipiell ist die Reihenfolge beliebig.
LG Lippel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 Mi 20.04.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > Ok. Wieso hast du bei [mm]\{3.4.2.1 \}[/mm] diese Reihenfolge
> > gewählt? Wählt man das immer so, dass man mit der
> > positiven Zahl mit dem geringstmöglichen Wert anfängt?
>
> Ich denke Felix wollte damit andeuten, dass [mm]3^1=3, 3^2=9=4, 3^3=27=2, 3^4=81=1[/mm].
genau :)
Das hilft dem Korrektor zu erkennen, dass man das auch wirklich gerechnet hat.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:50 Mi 20.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> Lippel
> felixf
> LG
> LG
Danke!
Gruss
kushkush
|
|
|
|
