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| Aufgabe | In einem Beutel befinden sich n Kugeln, die von 1 bis n nummeriert sind.
Spieler A zieht 2 Kugeln aus dem Beutel und notiert die höhere Nummer. Die Kugeln werden dann wieder in den Beutel zurückgelegt.
Spieler B zieht 2 Kugeln aus dem Beutel, notiert die niedrigere Nummer und verdoppelt diese dann. Die Kugeln werden dann wieder in den Beutel zurückgelegt.
Dieser Vorgang wird etwa hundert Mal wiederholt, und jeder Spieler addiert seine Ergebnisse. Gewonnen hat der Spieler mit der höheren Endsumme.
Und jetzt kommt's:
Beweise (oder wiederlege), dass dieses Spiel fair ist. |
Durch Untersuchung sämtlicher möglicher Kombinationen habe ich herausgefunden, dass sowohl für n=2, als auch für n=3, n=4, n=5 und n=6 die Erwartungswerte für beide Spieler gleich sind (aufgrund der Verdopplung bei Spieler B). Das kann doch wohl kein Zufall sein.
Was sollte also dagegen sprechen, dass das Spiel auch für n=738 fair ist?
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> In einem Beutel befinden sich n Kugeln, die von 1 bis n
> nummeriert sind.
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> Spieler A zieht 2 Kugeln aus dem Beutel und notiert die
> höhere Nummer. Die Kugeln werden dann wieder in den Beutel
> zurückgelegt.
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> Spieler B zieht 2 Kugeln aus dem Beutel, notiert die
> niedrigere Nummer und verdoppelt diese dann. Die Kugeln
> werden dann wieder in den Beutel zurückgelegt.
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> Dieser Vorgang wird etwa hundert Mal wiederholt, und jeder
> Spieler addiert seine Ergebnisse. Gewonnen hat der Spieler
> mit der höheren Endsumme.
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> Und jetzt kommt's:
> Beweise (oder wiederlege), dass dieses Spiel fair ist.
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> Durch Untersuchung sämtlicher möglicher Kombinationen
> habe ich herausgefunden, dass sowohl für n=2, als auch
> für n=3, n=4, n=5 und n=6 die Erwartungswerte für beide
> Spieler gleich sind (aufgrund der Verdopplung bei Spieler
> B). Das kann doch wohl kein Zufall sein.
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> Was sollte also dagegen sprechen, dass das Spiel auch für
> n=738 fair ist?
Hey rabilein,
falls die Vermutung (faires Spiel) zutrifft, hast du da einen
tollen Coup gelandet ...
Ich muss mir das Ganze aber zuerst mal genau überlegen !
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:55 Mi 01.06.2011 | | Autor: | rabilein1 |
> falls die Vermutung (faires Spiel) zutrifft, hast du da einen tollen Coup gelandet ...
>
> Ich muss mir das Ganze aber zuerst mal genau überlegen !
Ich suchte eigentlich nach etwas ganz anderem (im Zusammenhang mit dem Münzwurf-Paradox).
Und dabei fand ich "zufällig" heraus, dass beim Verdoppeln der kleineren Zahl ein faires Spiel rauskam.
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Hab 's mittlerweile mal für n=8 durchgerechnet, und es
stimmt da auch !
Es sieht also gut aus - aber für die allgemeine Berech-
nung ist es mir jetzt etwas zu spät ...
Al
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:39 Mi 01.06.2011 | | Autor: | abakus |
> In einem Beutel befinden sich n Kugeln, die von 1 bis n
> nummeriert sind.
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> Spieler A zieht 2 Kugeln aus dem Beutel und notiert die
> höhere Nummer. Die Kugeln werden dann wieder in den Beutel
> zurückgelegt.
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> Spieler B zieht 2 Kugeln aus dem Beutel, notiert die
> niedrigere Nummer und verdoppelt diese dann. Die Kugeln
> werden dann wieder in den Beutel zurückgelegt.
>
> Dieser Vorgang wird etwa hundert Mal wiederholt, und jeder
> Spieler addiert seine Ergebnisse. Gewonnen hat der Spieler
> mit der höheren Endsumme.
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> Und jetzt kommt's:
> Beweise (oder wiederlege), dass dieses Spiel fair ist.
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> Durch Untersuchung sämtlicher möglicher Kombinationen
> habe ich herausgefunden, dass sowohl für n=2, als auch
> für n=3, n=4, n=5 und n=6 die Erwartungswerte für beide
> Spieler gleich sind (aufgrund der Verdopplung bei Spieler
> B). Das kann doch wohl kein Zufall sein.
>
Hallo,
dann musst du halt die beiden Erwartungswerte mal allgemein berechnen.
Man ziehe ein Paar Kugeln ohne zurücklegen (damit gibt es keine zwei gleichen Nummern) und notiere die möglichen geordneten Paare
(große Zahl, kleine Zahl)
Es gibt n(n-1)/2 Paare dieser Art.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die größere Zahl des Paares die 1 ist, ist 0.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die größere Zahl des Paares die 2 ist, ist
1:(n(n-1)/2). (Es gibt nur 1 solches Paar).
Die Wahrscheinlichkeit, dass die größere Zahl des Paares die 3 ist, ist
2:(n(n-1)/2). (Es gibt nur 2 solche Paare).
Die Wahrscheinlichkeit, dass die größere Zahl des Paares die 4 ist, ist
3:(n(n-1)/2). (Es gibt nur 3 solche Paare)
...
Die Wahrscheinlichkeit, dass die größere Zahl des Paares die n ist, ist
(n-1):(n(n-1)/2). (Es gibt nur n-1 solche Paare).
Der Erwartungswert ist somit
(0*1 + 1*2 + 2*3 + ... +(n-1)*n) : (n(n-1)/2).
Das muss nicht zwangsläufig in irgendwelche Summenformeln mit n gepresst werden. Wenn du Glück hast, liefert die Ermittlung des anderen Erwartungswertes sichtbar den gleichen Term
Gruß Abakus
> Was sollte also dagegen sprechen, dass das Spiel auch für
> n=738 fair ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 Do 02.06.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
wir interessieren uns nur für den Erwartungswert des Minimums bzw. Maximums (da wir summieren greift ja eh das Gesetz der großen Zahlen).
Sagen wir das Minimum der beiden Kugeln [mm] ($X_1$, $X_2$) [/mm] ist Y und das Maximum Z. Wegen Symmetrie gilt
$E(Z)=n+1-E(Y)$ (wir könnten ja einfach die Nummern auf den Kugeln "rückwärts zählen")
Die Frage ist, kann man so sehen, daß der Abstand zwischen den beiden Ewartungswerten gleich dem von den Rändern aus ist?
[mm] $E(Z)-E(Y)=\frac{n+1}3$
[/mm]
Ich wüßte nicht wie. Aber ausrechnen geht.
[mm] $P(Y=y)=2\frac{n-y}{n(n+1)}$
[/mm]
und dann Summenformeln. =)
ciao
Stefan
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> In einem Beutel befinden sich n Kugeln, die von 1 bis n
> nummeriert sind.
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> Spieler A zieht 2 Kugeln aus dem Beutel und notiert die
> höhere Nummer. Die Kugeln werden dann wieder in den Beutel
> zurückgelegt.
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> Spieler B zieht 2 Kugeln aus dem Beutel, notiert die
> niedrigere Nummer und verdoppelt diese dann. Die Kugeln
> werden dann wieder in den Beutel zurückgelegt.
>
> Dieser Vorgang wird etwa hundert Mal wiederholt, und jeder
> Spieler addiert seine Ergebnisse. Gewonnen hat der Spieler
> mit der höheren Endsumme.
>
> Und jetzt kommt's:
> Beweise (oder wiederlege), dass dieses Spiel fair ist.
>
> Durch Untersuchung sämtlicher möglicher Kombinationen
> habe ich herausgefunden, dass sowohl für n=2, als auch
> für n=3, n=4, n=5 und n=6 die Erwartungswerte für beide
> Spieler gleich sind (aufgrund der Verdopplung bei Spieler
> B). Das kann doch wohl kein Zufall sein.
>
> Was sollte also dagegen sprechen, dass das Spiel auch für
> n=738 fair ist?
Hallo,
es spricht nichts dagegen !
Es sei Min:= kleinere Nummer und Max:= größere Nummer.
Man kann die Erwartungswerte der beiden Zufallsvariablen
berechnen (man braucht dazu zwei Summenformeln) und
erhält:
$E(Min)\ =\ [mm] \frac{1}{3}*(n+1)$ [/mm] $E(Max)\ =\ [mm] \frac{2}{3}*(n+1)$
[/mm]
Durch Verdoppeln der kleineren Zahl erhält man also ein
faires Spiel.
Rabilein, Gratulation zu der interessanten Spielidee, die
darin steckt !
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:51 Do 02.06.2011 | | Autor: | rabilein1 |
Das Prinzip beruht auf der (bekannten) Formel 2*(1+2+3+4+...+n) = n(n+1)
Daraus würde durch Umwandlungen folgen:
2*2*(1+2+3+4+...+n-1) = n*(n-1)*2
Hierbei entspricht die linke Seite dem doppelten Zuwachs von Spieler B und die rechte Seite dem Zuwachs von Spieler A.
"Zuwachs" heißt: Zunahme der Punkte bei n Kugeln gegenüber n-1 Kugeln, wenn man alle Kombinationen nimmt, zum Beispiel für n=5:
12 13 14 / 15
21 23 24 / 25
31 32 34 / 35
41 42 43 / 45
--------/
51 52 53 54
also: was am rechten und unteren Rand zunimmt
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