Faktorgr. von Teilring v. \IQ < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:03 So 05.11.2006 | | Autor: | Sanshine |
| Aufgabe | Sei p eine Primzahl, sei R ein Teilring von [mm] \IQ, [/mm] der aus gekürzten Brüchen ganzer Zahlen besteht, deren Nenner nicht durch p teilbar sind, also:
[mm] R:=\{ \bruch{a}{b}| ggT(a,b)=1=ggT(p,b) }
[/mm]
Beh.:
a) M:={ [mm] \bruch{a}{b}| [/mm] ggT(a,b)=1, p|a } ist das einzige maximale Ideal in R
b) [mm] R/M\cong \IZ/p\IZ. [/mm] |
Hallo allerseits, einen schönen Sonntag-Morgen wünsche ich!
Habe mich jetzt einige Zeit mit der Aufgabe beschäftigt, kann sie aber anscheinend nicht voll und ganz durchleuchten.
Es hapert bei mir eben mit den ggTs, würde zu gerne verstehen, warum die Verknüpfungen so klappen, dass aus ggT(a,b)=1=ggT(a',b') folgt ggT(ab'+ba',bb')=1
Meine Überlegungen bisher:
zu a)
- [mm] M\subseteq [/mm] R offensichtlich, da p|a bei ggT(a,b)=1 ja direkt folgen lässt ggT(p,b)=1.
- Die add Abgeschlossenheit ist klar (solange man versteht, warum R add abgeschlossen ist, was ich allerdings nicht wirklich tu;))
- seien [mm] \bruch{a}{b}\inM,\bruch{r}{s}\inR. [/mm] Dann gilt [mm] \bruch{r}{s}\bruch{a}{b}=\bruch{ra}{sb}\in [/mm] M (wieder ist mir die multpl. abg. von R nicht ganz klar, aber wenn sie es wäre, dann wäre mir auch klar, warum das Ding in M liegt.)
- M ist maximal, da gilt:
R/M ist Körper [mm] \gdw [/mm] M ist max Ideal .
zu [mm] \bruch{a}{b}\in [/mm] R finde ich [mm] \bruch{b}{a} \in [/mm] R falls ggT(a,p)=1, also [mm] \bruch{a}{b}M\bruch{b}{a}M=\bruch{ab}{ba}M=M. [/mm] Falls [mm] ggT(a,p)\not=1, [/mm] folgt p|a, da p prim, also [mm] \bruch{a}{b}ohnehin \in [/mm] M, also [mm] \bruch{a}{b}M=M. [/mm] Somit ist jedes Element aus K/M einheit, also ist K/M ein Körper.
ABER: warum ist M jetzt das einzige maximale Ideal? Habe dafür keinen Ansatz gefunden.
b) bin ich relativ ratlos. Habe ein bisschen überlegt, aber keinen vernünftigen Isomorphismus gefunden. Oder kann man da irgendeinen hübschen Satz anwenden?
Wäre wie immer für jegliche Hilfe dankbar, einen schönen Sonntag noch,
San
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 So 05.11.2006 | | Autor: | felixf |
Einen schoenen guten Morgen San!
(Auch wenn es mittlerweile nicht mehr ganz morgen ist  )
> Sei p eine Primzahl, sei R ein Teilring von [mm]\IQ,[/mm] der aus
> gekürzten Brüchen ganzer Zahlen besteht, deren Nenner nicht
> durch p teilbar sind, also:
> [mm]R:=\{ \bruch{a}{b}| ggT(a,b)=1=ggT(p,b) }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Beh.:
> a) M:={ [mm]\bruch{a}{b}|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ggT(a,b)=1, p|a } ist das einzige
> maximale Ideal in R
> b) [mm]R/M\cong \IZ/p\IZ.[/mm]
> Hallo allerseits, einen schönen
> Sonntag-Morgen wünsche ich!
> Habe mich jetzt einige Zeit mit der Aufgabe beschäftigt,
> kann sie aber anscheinend nicht voll und ganz
> durchleuchten.
> Es hapert bei mir eben mit den ggTs, würde zu gerne
> verstehen, warum die Verknüpfungen so klappen, dass aus
> ggT(a,b)=1=ggT(a',b') folgt ggT(ab'+ba',bb')=1
Das gilt auch nicht. Allerdings kannst du $(a b' + b a') / (b b')$ so kuerzen, dass das Ergebnis teilerfremd ist. Wenn $a''/b'' = (a b' + b a')/(b b')$ ist mit $a'', b''$ teilerfremd, dann ist ja $a''/b'' [mm] \in [/mm] R$ (da $b''$ ein Teiler von $b b'$ ist ist es nicht durch $p$ teilbar) und somit $a/b + a'/b' = (a b' + b a')/(b b') = a''/b'' [mm] \in [/mm] R$.
> zu a)
> - [mm]M\subseteq[/mm] R offensichtlich, da p|a bei ggT(a,b)=1 ja
> direkt folgen lässt ggT(p,b)=1.
>
> - Die add Abgeschlossenheit ist klar (solange man versteht,
> warum R add abgeschlossen ist, was ich allerdings nicht
> wirklich tu;))
Ich hoffe das hat sich jetzt geaendert *g*
> - seien [mm]\bruch{a}{b}\inM,\bruch{r}{s}\inR.[/mm] Dann gilt
> [mm]\bruch{r}{s}\bruch{a}{b}=\bruch{ra}{sb}\in[/mm] M (wieder ist
> mir die multpl. abg. von R nicht ganz klar, aber wenn sie
> es wäre, dann wäre mir auch klar, warum das Ding in M
> liegt.)
Du musst auch hier wieder kuerzen, der gekuerzte Bruch liegt dann in $R$ bzw. $M$ und ist gleich dem ungekuerzten. (Warum er in $M$ liegt: du kannst $p$ aus dem Zaehler nicht rauskuerzen.)
> - M ist maximal, da gilt:
> R/M ist Körper [mm]\gdw[/mm] M ist max Ideal .
> zu [mm]\bruch{a}{b}\in[/mm] R finde ich [mm]\bruch{b}{a} \in[/mm] R falls
> ggT(a,p)=1, also
> [mm]\bruch{a}{b}M\bruch{b}{a}M=\bruch{ab}{ba}M=M.[/mm] Falls
> [mm]ggT(a,p)\not=1,[/mm] folgt p|a, da p prim, also
> [mm]\bruch{a}{b}ohnehin \in[/mm] M, also [mm]\bruch{a}{b}M=M.[/mm] Somit ist
> jedes Element aus K/M einheit, also ist K/M ein Körper.
Du meinst jedes Element [mm] $\neq [/mm] 0$ 
> ABER: warum ist M jetzt das einzige maximale Ideal? Habe
> dafür keinen Ansatz gefunden.
Geh so vor: Zeige, dass $R [mm] \setminus [/mm] M$ genau die Einheiten von $R$ sind. (Hast du ja im Prinzip schon gemacht.) Daraus folgt, dass $M$ maximal ist, weil ein groesseres Ideal bereits ganz $R$ sein muss. Und weiterhin enthaelt $M$ jedes Ideal von $R$, welches nicht bereits ganz $R$ ist (weil es ansonsten eine Einheit beinhalten muesste). Also ist $M$ das einzige maximale Ideal.
> b) bin ich relativ ratlos. Habe ein bisschen überlegt, aber
> keinen vernünftigen Isomorphismus gefunden. Oder kann man
> da irgendeinen hübschen Satz anwenden?
Den Homomorphiesatz
Betrachte die Abbildung [mm] $\varphi [/mm] : R [mm] \to \IZ/p\IZ$, $\frac{a}{b} \mapsto [/mm] a [mm] b^{-1} \in \IZ/p\IZ$ [/mm] (wobei das Invertieren in [mm] $\IZ/p\IZ$ [/mm] stattfindet). Ueberleg dir erstmal, dass das wohldefiniert ist und dass es ein Ringmorphismus ist. Dass dieser surjektiv ist ist auch nicht schwer. Dann musst du nur noch zeigen, dass [mm] $\ker\varphi [/mm] = M$ ist. Aber das ist auch nicht schwer.
Dir auch einen schoenen Rest-Sonntag,
Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 So 05.11.2006 | | Autor: | Sanshine |
Moin nochmal!
Erst einmal: Danke für die ausführliche Antwort.
Leider bleiben mir noch einige Probleme (wie könnte es auch anders sein), allerdings vernachlässigbare.
1.) zu a)
Ich hatte leider erst genau da das Problem bezgl. der add/multipl. Abgeschlossenheit, wo du aufgehört hast. Dass die Eigenschaften mit p bleiben, ist klar, aber wo bitteschön sollte ich z.B. bei [mm] \bruch{ab'+ba'}{bb'} [/mm] kürzen können? Ist nicht wirklich wichtig,habe die Aufgabe einfach so interpretiert, dass ich nicht mehr zeigen muss, dass R ein Ring ist und mir das Dilemma gespart, aber interessieren würde es mich doch...
2.) zu b)
Wofür muss ich denn die Surjektivität nachweisen? Ist zwar einfach, aber doch überflüssig, oder? Verwirrt mich...
Einen ebenfalls noch schönen, jetzt noch kleineren Restsonntag, wünscht
San
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 So 05.11.2006 | | Autor: | felixf |
Moin San!
> Erst einmal: Danke für die ausführliche Antwort.
> Leider bleiben mir noch einige Probleme (wie könnte es
> auch anders sein), allerdings vernachlässigbare.
> 1.) zu a)
> Ich hatte leider erst genau da das Problem bezgl. der
> add/multipl. Abgeschlossenheit, wo du aufgehört hast.
> Dass die Eigenschaften mit p bleiben, ist klar, aber wo
> bitteschön sollte ich z.B. bei [mm]\bruch{ab'+ba'}{bb'}[/mm] kürzen
> können? Ist nicht wirklich wichtig,habe die Aufgabe einfach
> so interpretiert, dass ich nicht mehr zeigen muss, dass R
> ein Ring ist und mir das Dilemma gespart, aber
> interessieren würde es mich doch...
Nun, du kannst mit $a'' := a b' + b a'$ und $b'' := b b'$ den Bruch $a''/b''$ entweder kuerzen, oder es gilt $ggT(a'', b'') = 1$. Im zweiten Fall ist $a''/b'' [mm] \in [/mm] R$, und im ersten Fall ist das Ergebnis nach dem Kuerzen in $R$. Da der gekuerzte Bruch jedoch gleich $a''/b''$ ist, ist also auch $a''/b'' [mm] \in [/mm] R$.
Zum Beispiel: Wenn $p = 2$ ist und $a/b = a'/b' = 1/3 [mm] \in [/mm] R$, dann ist $a/b + a'/b' = (a b' + a' b)/(b b') = 6/9$. Nun ist $ggT(6, 9) = 3 > 1$, jedoch ist $6/9 = 2/3$ und $ggT(2, 3) = 1$. Also ist $1/3 + 1/3 = 6/9 = 2/3 [mm] \in [/mm] R$.
> 2.) zu b)
> Wofür muss ich denn die Surjektivität nachweisen? Ist zwar
Damit du den Homomorphiesatz anwenden kannst
> einfach, aber doch überflüssig, oder? Verwirrt mich...
Ansonsten wuesstest du nur, dass $R/M$ isomorph zu einem Unterring von [mm] $\IZ/p\IZ$ [/mm] ist. (Ok, du kannst natuerlich jetzt das Wissen verwenden, dass es keine echten Unterringe von [mm] $\IZ/p\IZ$ [/mm] gibt... Was im Endeffekt gerade die Surjektivitaet ist :) )
LG Felix
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