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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:03 So 20.02.2011 | | Autor: | MrRom |
| Aufgabe | | Es seien (G,*) eine Gruppe und H [mm] \subset [/mm] G eine Untergruppe. Überlegen Sie eisch, dass durch [mm] \varphi (H*a)=a^{-1} [/mm] eine Abbildung [mm] \varphi [/mm] : H\ G [mm] \to [/mm] G/H wohldefiniert ist und dass [mm] \varphi [/mm] bijektiv ist. |
Hallo,
ich würde mich freuen, wenn mir hierbei jemand helfen könnte.
also zunchstmal haben wir folgendes noch im Skript definiert H\ G:={H*a:a [mm] \in [/mm] G} und G/H:={a*H:a [mm] \in [/mm] G} für (G,*) Gruppe und H [mm] \subset [/mm] G Untergruppe.
Mir liegt jetzt schon eine Lösung dafür vor für die Wohlfefiniertheit.
a,b [mm] \in [/mm] G mit H*a=H*b
[mm] \Rightarrow [/mm] b [mm] \in [/mm] H*a
[mm] \Rightarrow b*a^{-1} \in [/mm] H
[mm] \Rightarrow [/mm] (da H Untergruppe) [mm] a*b^{-1} [/mm] = [mm] (b*a^{-^1})^{-^1} \in [/mm] H
[mm] \Rightarrow b^{-1} \in q^{-1} [/mm] *H
d.h. [mm] H*a^{-1}=b^{-1}*H
[/mm]
Damit komme ich allerings jetzt irgendwie überhaupt nicht richtig zurecht. Ich glaube wenn ich das verstanden habe bekomme ich die Bijektivität alleine gelöst. Würde mich freuen, wenn mir jemand ein paar Tipps geben könnte um das obige besser zu verstehen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hmm, das scheint ja doch i.A. zu gehen.
Angenommen
[math] H*b=H*a [/math]
Dann gilt
[mm] H*b*a^{-1}=H
[/mm]
Also gilt
[mm] b*a^{-1} \in [/mm] H
[mm] \Rightarrow a^{-1}= b^{-1}*\underbrace{b*a^{-1}}_{\in H}
[/mm]
[mm] \Rightarrow a^{-1} \in b^{-1}*H
[/mm]
Natürlich gilt auch
[math] a^{-1} \in a^{-1} *H [/math]
Da verschiedene Nebenklassen immer disjunkt sind folgt
[math] a^{-1}*H=b^{-1}*H [/math]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:03 So 20.02.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Das was du schreibst gilt i.A. nur, wenn H eine normale
> Untegruppe von G ist.
Eben nicht: es gilt fuer alle Gruppen. Was nur fuer Normalteiler gilt, ist dass $x H = H x$ ist fuer alle $x [mm] \in [/mm] G$, und man somit $G / H$ und $H [mm] \backslash [/mm] G$ auf noch direktere Weise (naemlich per $x H [mm] \mapsto [/mm] H x$) identifizieren kann und $G / H = H [mm] \backslash [/mm] G$ gilt.
LG Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:04 So 20.02.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es seien (G,*) eine Gruppe und H [mm]\subset[/mm] G eine
> Untergruppe. Überlegen Sie eisch, dass durch [mm]\varphi (H*a)=a^{-1}[/mm]
> eine Abbildung [mm]\varphi[/mm] : H\ G [mm]\to[/mm] G/H wohldefiniert ist
> und dass [mm]\varphi[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
bijektiv ist.
>
> ich würde mich freuen, wenn mir hierbei jemand helfen
> könnte.
>
> also zunchstmal haben wir folgendes noch im Skript
> definiert H\ G:={H*a:a [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G} und G/H:={a*H:a [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G} für
> (G,*) Gruppe und H [mm]\subset[/mm] G Untergruppe.
>
> Mir liegt jetzt schon eine Lösung dafür vor für die
> Wohlfefiniertheit.
>
> a,b [mm]\in[/mm] G mit H*a=H*b
> [mm]\Rightarrow[/mm] b [mm]\in[/mm] H*a
> [mm]\Rightarrow b*a^{-1} \in[/mm] H
> [mm]\Rightarrow[/mm] (da H Untergruppe) [mm]a*b^{-1}[/mm] =
> [mm](b*a^{-^1})^{-^1} \in[/mm] H
> [mm]\Rightarrow b^{-1} \in q^{-1}[/mm] *H
> d.h. [mm]H*a^{-1}=b^{-1}*H[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Damit komme ich allerings jetzt irgendwie überhaupt nicht
> richtig zurecht. Ich glaube wenn ich das verstanden habe
> bekomme ich die Bijektivität alleine gelöst. Würde mich
> freuen, wenn mir jemand ein paar Tipps geben könnte um das
> obige besser zu verstehen.
Sag doch mal lieber, was du da genau nicht verstehst? Welche Implikation ist unklar?
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 So 20.02.2011 | | Autor: | MrRom |
Hallo,
also ich habe vor allem mit diesen beiden Schitten zu kämpfen:
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ b $ [mm] \in [/mm] $ H*a
$ [mm] \Rightarrow b\cdot{}a^{-1} \in [/mm] $ H
$ [mm] \Rightarrow b^{-1} \in q^{-1} [/mm] $ *H wird mir denke ich ersichtlich, sofern ich die beiden oberen verstanden habe.
Wäre super wenn du mir da einen Tipp bzw. eine kurze Erklärung geben könntest!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 So 20.02.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> also ich habe vor allem mit diesen beiden Schitten zu
> kämpfen:
> [mm]\Rightarrow[/mm] b [mm]\in[/mm] H*a
Wenn $H a = H b$ ist, dann liegt jedes Element aus $H b$ in $H a$, und eben auch $b = b * e$, da ja $e [mm] \in [/mm] H$ gilt.
> [mm]\Rightarrow b\cdot{}a^{-1} \in[/mm] H
Wenn du beide Seiten von Rechts mit [mm] $a^{-1}$ [/mm] multiplizierst, bekommst du $b [mm] a^{-1} \in [/mm] H a [mm] a^{-1} [/mm] = H$.
> [mm]\Rightarrow b^{-1} \in q^{-1}[/mm] *H wird mir denke ich
> ersichtlich, sofern ich die beiden oberen verstanden habe.
Moment, hier stimmt was nicht. Was ist $q$? Ich schreib dazu gleich noch was...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:33 So 20.02.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es seien (G,*) eine Gruppe und H [mm]\subset[/mm] G eine
> Untergruppe. Überlegen Sie eisch, dass durch [mm]\varphi (H*a)=a^{-1}[/mm]
> eine Abbildung [mm]\varphi[/mm] : H\ G [mm]\to[/mm] G/H wohldefiniert ist
> und dass [mm]\varphi[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
bijektiv ist.
> Hallo,
>
> ich würde mich freuen, wenn mir hierbei jemand helfen
> könnte.
>
> also zunchstmal haben wir folgendes noch im Skript
> definiert H\ G:={H*a:a [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G} und G/H:={a*H:a [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G} für
> (G,*) Gruppe und H [mm]\subset[/mm] G Untergruppe.
>
> Mir liegt jetzt schon eine Lösung dafür vor für die
> Wohlfefiniertheit.
Da war ich vorhin etwas vorschnell, so ganz stimmt das noch nicht:
> a,b [mm]\in[/mm] G mit H*a=H*b
> [mm]\Rightarrow[/mm] b [mm]\in[/mm] H*a
> [mm]\Rightarrow b*a^{-1} \in[/mm] H
> [mm]\Rightarrow[/mm] (da H Untergruppe) [mm]a*b^{-1}[/mm] =
> [mm](b*a^{-^1})^{-^1} \in[/mm] H
Bis hierhin ist es ok. Dann aber:
> [mm]\Rightarrow b^{-1} \in q^{-1}[/mm] *H
Du meinst [mm] $b^{-1} \in a^{-1} [/mm] H$.
> d.h. [mm]H*a^{-1}=b^{-1}*H[/mm]
Und hier meinst du [mm] $a^{-1} [/mm] H = [mm] b^{-1} [/mm] H$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:22 So 20.02.2011 | | Autor: | MrRom |
Vielen Dank an euch beide für eure Mühe! Hab jetzt alles verstanden, hat mir sehr weitergeholfen, Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:24 So 20.02.2011 | | Autor: | MrRom |
Sorry, habe oben ausversehen eine Frage eröffnet nochmal, weiß nicht wie ich das rückgängig machen kann.
Vielen Dank an euch beide für eure Mühe! Hab jetzt alles verstanden, hat mir sehr weitergeholfen, Danke!
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