Faktorgruppen von D3 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:26 Mi 31.03.2010 | | Autor: | gu75yey |
Hallo,
ich habe eine Frage: Ich möchte bei der Gruppe D3 (6 Elemente: id, 2 Drehungen r und [mm] r^2 [/mm] sowie 3 Spiegelungen [mm] s_{AB}, s_{BC}, s_{AC} [/mm] ) die Faktorgruppen bestimmen. Die 3 Normalteiler sind ja:
(i) { id }
(ii) D3
(iii) { id, r, [mm] r^2 [/mm] }
So, wenn ich jetzt die FG nach den NT angeben will, weiß ich schon mal, dass die jew. Ordnung der Faktorgruppen die folgende ist:
(i) D3 nach { id } = 6
(ii) D3 nach D3 = 1
(iii) D3 nach { id, r, [mm] 2^2 [/mm] } = 2
Die jeweilige FG würde ich so angeben:
(i) D3 nach {id} = { id, r, [mm] r^2, s_{AB}, s_{BC}, s_{AC} [/mm] }
(ii) D3 nach D3 = {id}
(iii) D3 nach {id, r, [mm] r^2} [/mm] = { {id, r, [mm] r^2 [/mm] } , { [mm] s_{AB} [/mm] , [mm] s_{BC} [/mm] , [mm] s_{AC} [/mm] } }
Jetzt meine eigentliche Frage: Sind die 3 FG nach den NT so korrekt, vor allem mathematisch korrekt angegeben, oder liege ich da falsch?
Dankeschön schon mal...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:07 Mi 31.03.2010 | | Autor: | statler |
Hi! Und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> So, wenn ich jetzt die FG nach den NT angeben will, weiß
> ich schon mal, dass die jew. Ordnung der Faktorgruppen die
> folgende ist:
>
> (i) D3 nach { id } = 6
> (ii) D3 nach D3 = 1
> (iii) D3 nach { id, r, [mm] r^2 [/mm] } = 2
Besser vllt. |D3/{id}| = 6 usw.
> Die jeweilige FG würde ich so angeben:
>
> (i) D3 nach {id} = { id, r, [mm] r^2, s_{AB}, s_{BC}, s_{AC} [/mm] }
> (ii) D3 nach D3 = {id}
> (iii) D3 nach { id, r, [mm] r^2 [/mm] } = { { id, r, [mm] r^2 [/mm] } , { [mm] s_{AB}, s_{BC}, s_{AC} [/mm] } }
Vielleicht solltest du konsequenter sein und die Faktorgruppe in allen 3 Fällen als Menge von Mengen angeben (wie bei iii)).
> Jetzt meine eigentliche Frage: Sind die 3 FG nach den NT so
> korrekt, vor allem mathematisch korrekt angegeben, oder
> liege ich da falsch?
Du meinst natürlich das Richtige, wegen des Hinschreibens hängt das von der Kritteligkeit des Lesers ab.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Mi 31.03.2010 | | Autor: | gu75yey |
Hallo statler,
danke für die schnelle Antwort:
Also wäre es dann so korrekt:
(i) D3 \ {id} = {{ id , r , [mm] r^2 [/mm] , [mm] s_{AB} [/mm] , [mm] s_{BC} [/mm] , [mm] s_{AC} [/mm] }}
(ii) D3 \ D3 = {{id}}
(iii) D3 \ {id, r , [mm] r^2 [/mm] } = { { id , r , [mm] r^2 [/mm] } , { [mm] s_{AB} [/mm] , [mm] s_{BC} [/mm] , [mm] s_{AC} [/mm] }}
oder??
Und bei (ii) könnte ich sicher anstelle {{id}} auch jedes andere der insgesamt 6 Elemente beliebig nehmen, oder, also z.B. {{r}}??
Danke schon mal für deine Hilfe...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:34 Mi 31.03.2010 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Also wäre es dann so korrekt:
>
> (i) D3 \ {id} = {{ id , r , [mm] r^2 [/mm] , [mm] s_{AB} [/mm] , [mm] s_{BC} [/mm] , [mm] s_{AC} [/mm] }}
Normalerweise schreibt man die Faktorgruppe mit dem normalen Schrägstrich /, also D3/{id}. Und du weißt, daß die Ordnung dieser Faktorgruppe 6 ist. Dann kann deine Schreibweise nicht stimmen! In meinem Sinne konsequent wäre { {id}, {r}, ... , { [mm] s_{AC} [/mm] } }. allerdings macht man das unter etwas Fortgeschrittenen nicht so, sondern schreibt einfach wieder D3 hin. Dann wäre es aber richtig, das Gleichheitszeichen durch ein Isomorphiezeichen zu ersetzen.
> (ii) D3 \ D3 = {{id}}
> (iii) D3 \ { id, r , [mm] r^2 [/mm] } = { { id , r , [mm] r^2 [/mm] } , { [mm] s_{AB}, s_{BC}, s_{AC} [/mm] }}
> Und bei (ii) könnte ich sicher anstelle {{id}} auch jedes
> andere der insgesamt 6 Elemente beliebig nehmen, oder, also
> z.B. {{r}}??
Wenn ich jetzt bei meiner Hypergenauigkeit bleibe, dann besteht die Faktorgruppe aus Nebenklassen, die ich als ihre Elemente hinschreibe. Dann ist D3/D3 = {D3}. Denk daran, daß D3 eine Menge ist, also steht hier eine Menge mit einem einzigen Element, welches wieder eine Menge ist.
Wenn du nicht die Nebenklassen selbst, sondern Vertreter hinschreibst, dann ist z. B. D3/D3 = {r} = [mm] {r^2} [/mm] = ... Das muß man dann aber vorher klarstellen und dem geneigten Leser mitteilen.
Jetzt genug verwirrt? Frag ruhig.
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Mi 31.03.2010 | | Autor: | gu75yey |
Mahlzeit!! Und danke (vor allem für die Geduld)!
Also, jetzt dämmerts..... so langsam (so hoffe ich zumindest): Ich habe quasi mehrere Möglichkeiten:
Für (i):
(i) D3 / {id} = {{ id } , { r } , { [mm] r^2 [/mm] } , { [mm] s_{AB} [/mm] } , { [mm] s_{BC} [/mm] } , { [mm] s_{AC} [/mm] } }
bzw. auch (für Fortgeschrittene):
(i) D3 / {id} [mm] $\cong$ [/mm] { id , r , [mm] r^2 [/mm] , [mm] s_{AB} [/mm] , [mm] s_{BC} [/mm] , [mm] s_{AC} [/mm] }
bzw. auch (für Fortgeschrittene):
(i) D3 / {id} [mm] \cong [/mm] D3
Für (ii):
(ii) D3 / D3 = {D3}
bzw. wenn man nur Repräsentanten hinschreibt und das auch so mitteilt:
(ii) D3 / D3 = {id} = {r} = { [mm] r^2 [/mm] } = { [mm] s_{AB} [/mm] } = { [mm] s_{BC} [/mm] } = { [mm] s_{AC} [/mm] } (wobei hier die Angabe eines Repräsentanten natürlich genügt, also z.B. {r} )
Für (iii):
(iii) D3 / { id, r , [mm] r^2 [/mm] } = { { id , r , [mm] r^2 [/mm] } , { [mm] s_{AB} [/mm] , [mm] s_{BC} [/mm] , [mm] s_{AC} [/mm] } }
bzw. wenn man nur Repräsentanten hinschreibt und das auch so mitteilt:
(iii) D3 / { id, r , [mm] r^2 [/mm] } = {{ id } , { [mm] s_{BC} [/mm] }} = { { [mm] r^2 [/mm] } , { [mm] s_{AB}}} [/mm] = ......
Stimmts jetzt.....????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Mi 31.03.2010 | | Autor: | statler |
Hi!
Mahlzeit!! Und danke (vor allem für die Geduld)!
Da nich für, wie man hier oben sacht.
Also, jetzt dämmerts..... so langsam (so hoffe ich zumindest): Ich habe quasi mehrere Möglichkeiten:
Für (i):
(i) D3 / {id} = {{ id } , { r } , { [mm] r^2 [/mm] } , { [mm] s_{AB} [/mm] } , { [mm] s_{BC} [/mm] } , { [mm] s_{AC} [/mm] } }
bzw. auch (für Fortgeschrittene):
(i) D3 / {id} [mm] $\cong$ [/mm] { id , r , [mm] r^2 [/mm] , [mm] s_{AB} [/mm] , [mm] s_{BC} [/mm] , [mm] s_{AC} [/mm] }
bzw. auch (für Fortgeschrittene):
(i) D3 / {id} [mm] \cong [/mm] D3
Für (ii):
(ii) D3 / D3 = {D3}
bzw. wenn man nur Repräsentanten hinschreibt und das auch so mitteilt:
(ii) D3 / D3 = {id} = {r} = { [mm] r^2 [/mm] } = { [mm] s_{AB} [/mm] } = { [mm] s_{BC} [/mm] } = { [mm] s_{AC} [/mm] } (wobei hier die Angabe eines Repräsentanten natürlich genügt, also z.B. {r} )
Für (iii):
(iii) D3 / { id, r , [mm] r^2 [/mm] } = { { id , r , [mm] r^2 [/mm] } , { [mm] s_{AB} [/mm] , [mm] s_{BC} [/mm] , [mm] s_{AC} [/mm] } }
bzw. wenn man nur Repräsentanten hinschreibt und das auch so mitteilt:
(iii) D3 / { id, r , [mm] r^2 [/mm] } = {{ id } , { [mm] s_{BC} [/mm] }} = { { [mm] r^2 [/mm] } , { [mm] s_{AB}}} [/mm] = ......
Am Schluß reißt es dich doch noch aus der Kurve....
Wenn du die Repräsentantenschreibweise wählst, solltest du einfach Repräsentanten hinschreiben, nicht Mengen, die Repräsentanten enthalten. Am besten ist es wirklich, die Nebenklassen aufzuzählen. erst gibst du dem Normalteiler einen Namen, z. B. N, und dann schreibst du G/N = [mm] {a_1*N, ... , a_r*N}. [/mm] Da bist du auf sicherem Grund.
Ich hatte echte Probleme mit dem Formatieren, dswegen habe ich mit dem Quelltext gearbeitet.
Ciao
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Mi 31.03.2010 | | Autor: | gu75yey |
Lieber Dieter,
wahrscheinlich bist du schon genervt, aber ich kriege gleich Krise ..... also alles ok bis auf die Repräsentantenschreibweise bei (ii) und (iii)– also noch ein Versuch:
Wäre die Repräsentantenschreibweise dann so richtig:
(ii) D3 / D3 = id = r = [mm] r^2 [/mm] = [mm] s_{AB} [/mm] = [mm] s_{BC} [/mm] = [mm] s_{AC} [/mm]
(iii) D3 / { id, r , [mm] r^2 [/mm] } = id , [mm] s_{BC} [/mm] = [mm] r^2 [/mm] , [mm] s_{AB} [/mm] = ......
Bitte sag dass es stimmt......................
PS: habe mit der Formatierung auch echt Probleme....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Mi 31.03.2010 | | Autor: | statler |
Liebe Claudia!
> wahrscheinlich bist du schon genervt, aber ich kriege
> gleich Krise ..... also alles ok bis auf die
> Repräsentantenschreibweise bei (ii) und (iii)– also noch
> ein Versuch:
>
> Wäre die Repräsentantenschreibweise dann so richtig:
>
> (ii) D3 / D3 = id = r = [mm] r^2 [/mm] = [mm] s_{AB} [/mm] = [mm] s_{BC} [/mm] =
> [mm] s_{AC} [/mm]
>
> (iii) D3 / { id, r , [mm] r^2 [/mm] } = id , [mm] s_{BC} [/mm] = [mm] r^2 [/mm] ,
> [mm] s_{AB} [/mm] = ......
>
> Bitte sag dass es stimmt......................
Dann würde ich ja lügen, das will ich nicht. Also G/N ist immer eine Menge, also ist D3/D3 = id erstmal falsch. Wenn ich die Anfängerschreibweise wähle, schreibe ich D3/D3 = {D3}, das ist eine 1elementige Menge. Die Nebenklasse D3 wird durch id oder r vertreten, was man auch durch einen Querbalken ausdrückt: D3 = [mm] \overline{id} [/mm] = [mm] \overline{r} [/mm] usw. Mit dieser Schreibweise ist D3/D3 = [mm] {\overline{id}}. [/mm] Das ist OK, wenn man vorher definiert hat, was der Querstrich bedeuten soll.
Und wenn Profis unter sich sind, schenken sie sich gelegentlich den Querstrich und schreiben einfach D3/D3 = {id}.
Nächster Versuch ...
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Mi 31.03.2010 | | Autor: | gu75yey |
Lieber geduldiger Dieter,
oK: mein nächster Versuch (so schnell geb’ ich nicht auf ... ):
die Profis unter sich machens so:
(ii) D3 / D3 = { id } = { r } = { [mm] r^2 [/mm] } = { [mm] s_{AB} [/mm] } = { [mm] s_{BC} [/mm] } = { [mm] s_{AC} [/mm] }
bzw. hat man den Querstrich vorher definiert, so:
(ii) D3 / D3 = [mm] \overline{id} [/mm] = [mm] \overline{r} [/mm] = [mm] \overline{r^2} [/mm] = [mm] \overline{s_{AB}} [/mm] = [mm] \overline{s_{BC}} [/mm] = [mm] \overline{s_{AC}} [/mm]
(iii) D3 / { id, r , [mm] r^2 [/mm] } = { id , [mm] s_{BC} [/mm] } = { [mm] r^2 [/mm] , [mm] s_{AB} [/mm] } = ......
Oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Mi 31.03.2010 | | Autor: | statler |
Hi!
> oK: mein nächster Versuch (so schnell geb’ ich nicht auf
> ... ):
>
> die Profis unter sich machens so:
> (ii) D3 / D3 = { id } = { r } = { [mm] r^2 [/mm] } = { [mm] s_{AB} [/mm] } =
> { [mm] s_{BC} [/mm] } = { [mm] s_{AC} [/mm] }
> bzw. hat man den Querstrich vorher definiert, so:
> (ii) D3 / D3 = [mm] \overline{id} [/mm] = [mm] \overline{r} [/mm] =
> [mm] \overline{r^2} [/mm] = [mm] \overline{s_{AB}} [/mm] = [mm] \overline{s_{BC}} [/mm]
> = [mm] \overline{s_{AC}} [/mm]
D3 / D3 = { [mm] \overline{id} [/mm] } = { [mm] \overline{r} [/mm] } = { [mm] \overline{r^2} [/mm] } = { [mm] \overline{s_{AB}} [/mm] } = { [mm] \overline{s_{BC}} [/mm] } = { [mm] \overline{s_{AC}} [/mm] }
So würd ich es schreiben. Das erste Gebilde in dieser Gleichungskette ist eine Menge mit einem Element, also müssen es die anderen auch sein.
Ich gehe jetzt gleich offline, ciao
Dieter
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:34 Mi 31.03.2010 | | Autor: | gu75yey |
Hallo Dieter, falls du morgen noch mal Zeit findest:
Da du explizit nichts zu (iii) geschrieben hast: mein (iii) hat gestimmt:
(iii) D3/ {id, r, [mm] r^2 [/mm] } = { r, [mm] s_{AB} [/mm] } = { [mm] r^2, s_{AB} [/mm] } = ... wobei man ja auch wie bei (ii) die Querstriche setzen könnte, aber unter Fortgeschrittenen lässt man diese ja gern weg  )
Und (ii) könnte man doch auch anstelle (ii) D3/ D3 = {D3} auch so angeben:
(ii) D3/ D3 = { {id, r, [mm] r^2, s_{AB}, s_{BC}, s_{AC} [/mm] } }
Wie gesagt, wenn du morgen (oder in den nächsten Tagen) noch mal kurz Zeit hättest, würde ich mich freuen.....
Danke!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Fr 02.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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