Faktorisierung in IZ[i] < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man gebe die Faktorisierung der Elemente 2, 3 und 5 in [mm] \IZ[i] [/mm] an. |
Hallo,
versuche gerade die oben genannte Aufgabe zu lösen.
Für 2 habe ich folgende Faktorisierung
2 = (1+i)(1-i)
bei 3 habe ich leider keine Ahnung wie man sie faktorisieren kann.
Gibt es ein Verfahren, mit dem ich die Faktorisierung durchführen kann?
Viele Grüße,
Gratwanderer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 Mo 10.05.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Man gebe die Faktorisierung der Elemente 2, 3 und 5 in [mm]\IZ[i][/mm] [/i][/mm]
> [mm][i]an.[/i][/mm]
> [mm][i] Hallo,[/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]versuche gerade die oben genannte Aufgabe zu lösen.[/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]Für 2 habe ich folgende Faktorisierung[/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]2 = (1+i)(1-i)[/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]bei 3 habe ich leider keine Ahnung wie man sie [/i][/mm]
> [mm][i]faktorisieren kann.[/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]Gibt es ein Verfahren, mit dem ich die Faktorisierung [/i][/mm]
> [mm][i]durchführen kann?[/i][/mm]
Schau dir die Norm $N : [mm] \IZ[i] \to \IN$, [/mm] $x + i y [mm] \mapsto x^2 [/mm] + [mm] y^2$ [/mm] an. Diese ist multiplikativ.
Gilt also $3 = a [mm] \cdot [/mm] b$, so gilt $N(3) = N(a) N(b)$. Ist $N(a) = 1$ oder $N(b) = 1$, so ist $a$ bzw. $b4 eine Einheit (warum?).
Also, falls 3 nicht irreduzibel ist, muessen $a$ und $b$ Elemente mit Norm 3 sein. Gibt es solche Elemente?
LG Felix
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> Moin!
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> Schau dir die Norm [mm]N : \IZ[i] \to \IN[/mm], [mm]x + i y \mapsto x^2 + y^2[/mm] [/i][/mm]
> [mm][i]an. Diese ist multiplikativ.[/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]Gilt also $3 = a [mm]\cdot[/mm] b$, so gilt $N(3) = N(a) N(b)$. Ist [/i][/mm]
> [mm][i]$N(a) = 1$ oder $N(b) = 1$, so ist $a$ bzw. $b4 eine [/i][/mm]
> [mm][i]Einheit (warum?).[/i][/mm]
weil 1 eine multiplikative Inverse in [mm] \IZ[i] [/mm] besitzt? Eine andere Erklärung wäre vielleicht, dass 1 das neutr. Element der Multiplikation in [mm] \IZ[i] [/mm] ist.
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]Also, falls 3 nicht irreduzibel ist, muessen [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] [/i][/mm]
> [mm][i]Elemente mit Norm 3 sein. Gibt es solche Elemente?[/i][/mm]
Elemente mit Norm 3 in [mm] \IZ[i].. [/mm] das würde bedeuten (falls a=x+iy ein solches Element ist), dass
N(a) = [mm] x^2+y^2 [/mm] = 3
ich denke nicht dass so ein Element in [mm] \IZ[i] [/mm] existiert, kann jedoch auch nciht genau sagen warum.
Gruß, Gratwanderer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Di 11.05.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Schau dir die Norm [mm]N : \IZ[i] \to \IN[/mm], [mm]x + i y \mapsto x^2 + y^2[/mm][/i][/mm]
>
> > [mm][i]an. Diese ist multiplikativ.[/i][/mm]
> >[mm][i][/i][/mm]
> > [mm][i]Gilt also $3 = a [mm]\cdot[/mm] b$, so gilt $N(3) = N(a) N(b)$. Ist[/i][/mm]
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> > [mm][i]$N(a) = 1$ oder $N(b) = 1$, so ist $a$ bzw. $b4 eine[/i][/mm]
> >
> [mm][i]Einheit (warum?).[/i][/mm]
>
> weil 1 eine multiplikative Inverse in [mm]\IZ[i][/mm] besitzt? Eine [/i][/mm]
> [mm][i]andere Erklärung wäre vielleicht, dass 1 das neutr. [/i][/mm]
> [mm][i]Element der Multiplikation in [mm]\IZ[i][/mm] ist.[/i][/mm][/i][/mm]
Du sollst sagen, warum aus [mm] $x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 1$ folgt, dass $x + i y$ eine Einheit in [mm] $\IZ[i]$ [/mm] ist.
Ueberlege dir, welche Werte $x$ und $y$ ueberhaupt annehmen koennen, und finde dann fuer jedes solche Element eine Inverse in [mm] $\IZ[i]$.
[/mm]
> [mm][i][mm][i] [/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i]>[mm][i][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i] > [mm][i]Also, falls 3 nicht irreduzibel ist, muessen [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i] > [/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i]Elemente mit Norm 3 sein. Gibt es solche Elemente?[/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i] [/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i]Elemente mit Norm 3 in [mm]\IZ[i]..[/mm] das würde bedeuten (falls [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i]a=x+iy ein solches Element ist), dass[/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i] [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i]N(a) = [mm]x^2+y^2[/mm] = 3[/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i] [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i]ich denke nicht dass so ein Element in [mm]\IZ[i][/mm] existiert, kann [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i][mm][i]jedoch auch nciht genau sagen warum.[/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
Wenn $|x| > 1$ oder $|y| > 1$ ist, was kannst du dann ueber [mm] $x^2 [/mm] + [mm] y^2$ [/mm] sagen? (Beachte, dass $x$ und $y$ ganze Zahlen sind!) Die restlichen Moeglichkeiten kannst du von Hand durchgehen.
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 Do 13.05.2010 | | Autor: | peeetaaa |
hallo,
bin diese Aufgabe auch grade am machen und verstehe auch nicht so ganz wie ich das zeigen soll.
also hab ja die norm: N : [mm] \IZ[i] \to \IZ [/mm] : x + i y [mm] \mapsto x^2 [/mm] + [mm] y^2
[/mm]
und ich muss zeigen, dass ich 3 so darstellen kann mit
[mm] 3^2= [/mm] f(3)= f(ab)=f(a)f(b) mit f(a),f(b) [mm] \in \IN [/mm] und [mm] a,b\in \IZ[i]
[/mm]
also sodas a*b = 3 ist
und wenn 3 nicht irreduzibel ist, dann muss f(a)=f(b)=3 sein, quasi mittels Primfaktorzerlegung in [mm] \IZ
[/mm]
aber wie kann ich denn jetzt ganz genau zeigen, dass ich 3 nicht faktorisieren kann?
würde mir das vllt jmd erklären oder vllt an einer anderen zahl zeigen?
gruß,
peeetaaa
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:10 Fr 14.05.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> bin diese Aufgabe auch grade am machen und verstehe auch
> nicht so ganz wie ich das zeigen soll.
> also hab ja die norm: N : [mm]\IZ[i] \to \IZ[/mm] : x + i y [mm]\mapsto x^2[/mm] [/i][/mm]
> [mm][i]+ [mm]y^2[/mm][/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]und ich muss zeigen, dass ich 3 so darstellen kann mit[/i][/mm]
> [mm][i] [mm]3^2=[/mm] f(3)= f(ab)=f(a)f(b) mit f(a),f(b) [mm]\in \IN[/mm] und [mm]a,b\in \IZ[i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i] [/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i]also sodas a*b = 3 ist[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i] und wenn 3 nicht irreduzibel ist, dann muss f(a)=f(b)=3 [/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i]sein, quasi mittels Primfaktorzerlegung in [mm]\IZ[/mm][/i][/mm][/i][/mm]
Genau.
> [mm][i][mm][i] aber wie kann ich denn jetzt ganz genau zeigen, dass ich 3 [/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i]nicht faktorisieren kann?[/i][/mm][/i][/mm]
Nun, nimm an es gibt ein Element $a = x + i y [mm] \in \IZ[i]$ [/mm] mit $N(a) = 3$, und zeige, dass es einen Widerspruch ergibt -- womit es kein solches Element gibt, und womit du $3$ nicht als $a * b$ mit $N(a) = N(b) = 3$ schreiben kannst. Damit ist $3$ dann irreduzibel in [mm] $\IZ[i]$.
[/mm]
Also. Wir haben ja $a = x + i y$, also $N(a) = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2$. [/mm] Kannst du jetzt [mm] $x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 3$ loesen mit ganzen Zahlen $x, y$? Was passiert, wenn $x$ oder $y$ vom Betrag her mindestens zwei ist. Geht das? Welche Faelle bleiben uebrig?
LG Felix
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