Faktorraum berechnen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 So 08.02.2009 | | Autor: | Pille456 |
| Aufgabe | V sei der $ [mm] \IR-lineare [/mm] $ Raum aller Abbildungen f : $ [mm] \IR [/mm] $ [mm] \to [/mm] $ [mm] \IR. f_{1} ,f_{2} [/mm] $ , $ [mm] f_{3} [/mm] $ ∈ V seien
definiert durch $ [mm] f_{1}(x) [/mm] $ := $ [mm] e^{x} [/mm] $ , $ [mm] f_{2}(x) [/mm] $ := $ [mm] \wurzel{x^{2} + 1}, f_{3}(x) [/mm] $ := $ [mm] \bruch{1}{x^{2} + 1} [/mm] $ .
Die lineare Abbildung φ : $ [mm] \IR^{3} [/mm] $ [mm] \to [/mm] V erfülle:
$ [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} \mapsto f_{1} [/mm] $ + $ [mm] f_{3} [/mm] $
$ [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} \mapsto 2f_{1} [/mm] $ + $ [mm] f_{2} [/mm] $ + $ [mm] f_{3} [/mm] $
$ [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} \mapsto f_{1} [/mm] $ - $ [mm] 3f_{2} [/mm] $ + $ [mm] 4f_{3} [/mm] $
Bestimmen Sie Kern(φ) und Bild(φ) und das Element des Faktorraumes [mm] \IR^{3}/Kern(φ) [/mm] (und Bild(φ)/Kern(φ)) in dem der Vektor [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 4} [/mm] enthalten ist. |
Hi,
Ich hatte diese Frage schonmal ganz ähnlich gestellt, habe aber nun eine andere Lösung die ich nochmal diskutieren möchte.
Gesucht: Matrix bzgl. Standardbasen zum Berechnen von Kern und Bild. Also versuche ich zuerst φ(e) = a (wobei e ein Einheitsvektor ist) zu finden. Ein Einheitsvektor ist schon gegeben und die restlichen beiden Einheitsvektoren kann ich durch einfaches Abziehen des ersten Vektors mit dem zweiten bzw. zweiter mit drittem berechnen. Das ergibt:
φ($ [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} )\mapsto f_{1} [/mm] - [mm] 3f_{2} [/mm] $ + $ [mm] 4f_{3} [/mm]
φ($ [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} )\mapsto f_{1} [/mm] + [mm] 4f_{2} [/mm] $ [mm] -3f_{3}
[/mm]
φ($ [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} )\mapsto -f_{1} [/mm] - [mm] f_{2} [/mm] $
Die Faktoren der einzelnen Funktionen schreibe ich nun in eine Matrix:
[mm] \pmat{1 & 1 & -1 \\ -3 & 4 & -1 \\ 4 & -3 & 0} [/mm]
Mit Hilfe dieser Matrix kann ich nun Kern und Bild ohne weiteres bestimmen. Nur der Faktorraum macht mir weiterhin Probleme.
Bild(φ) = < [mm] \vektor{1 \\ -3 \\ 4}, \vektor{1 \\ 4 \\ -3} [/mm] >, Kern(φ) = < [mm] \vektor{3 \\ 4 \\ 7} [/mm] >
So der Faktorraum ist definiert als: V/U = { [mm] v_{0} [/mm] + U | [mm] v_{0} \in [/mm] V }
Nun mal am Beispiel von Bild(φ)/Kern(φ):
Es muss doch dann gelten: [mm] \vektor{a \\ b \\ c} [/mm] + [mm] \vektor{3 \\ 4 \\ 7} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\4}
[/mm]
und der Vektor [mm] \vektor{a \\ b \\c} [/mm] dann als Linearkombinationen des Bildes geschrieben oder nicht?
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> V sei der [mm]\IR-lineare[/mm] Raum aller Abbildungen f : [mm]\IR[/mm] [mm]\to[/mm]
> [mm]\IR. f_{1} ,f_{2}[/mm] , [mm]f_{3}[/mm] ∈ V seien
> definiert durch [mm]f_{1}(x)[/mm] := [mm]e^{x}[/mm] , [mm]f_{2}(x)[/mm] :=
> [mm]\wurzel{x^{2} + 1}, f_{3}(x)[/mm] := [mm]\bruch{1}{x^{2} + 1}[/mm] .
> Die lineare Abbildung φ : [mm]\IR^{3}[/mm] [mm]\to[/mm] V erfülle:
> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1} \mapsto f_{1}[/mm] + [mm]f_{3}[/mm]
> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0} \mapsto 2f_{1}[/mm] + [mm]f_{2}[/mm] + [mm]f_{3}[/mm]
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0} \mapsto f_{1}[/mm] - [mm]3f_{2}[/mm] + [mm]4f_{3}[/mm]
> Bestimmen Sie Kern(φ) und Bild(φ) und das
> Element des Faktorraumes [mm]\IR^{3}/Kern(φ)[/mm] (und
> Bild(φ)/Kern(φ)) in dem der Vektor [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 4}[/mm]
> enthalten ist.
> Hi,
> Ich hatte diese Frage schonmal ganz ähnlich gestellt,
Hallo,
exakt so.
> habe
> aber nun eine andere Lösung die ich nochmal diskutieren
> möchte.
> Gesucht: Matrix bzgl. Standardbasen zum Berechnen von Kern
> und Bild. Also versuche ich zuerst φ(e) = a (wobei e
> ein Einheitsvektor ist) zu finden. Ein Einheitsvektor ist
> schon gegeben und die restlichen beiden Einheitsvektoren
> kann ich durch einfaches Abziehen des ersten Vektors mit
> dem zweiten bzw. zweiter mit drittem berechnen. Das
> ergibt:
> φ($ [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0} )\mapsto f_{1}[/mm] - [mm]3f_{2}[/mm] $ +
> $ [mm]4f_{3}[/mm]
> φ([mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} )\mapsto f_{1} + 4f_{2}[/mm]
> [mm]-3f_{3}[/mm]
> φ([mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} )\mapsto -f_{1} - f_{2}[/mm]
Ich habe das nicht nachgerechnet, gehe davon aus, daß es richtig ist.
> Die
> Faktoren der einzelnen Funktionen schreibe ich nun in eine
> Matrix:
> [mm]\pmat{1 & 1 & -1 \\ -3 & 4 & -1 \\ 4 & -3 & 0}[/mm]
Unter gewissen Umständen kannst Du das so machen.
Deine Abbildung [mm] \varphi [/mm] soll abbilden in den VR V.
Offensichtlich liegt das Bild der Abbildung in dem von [mm] f_1, f_2, f_3 [/mm] aufgespannten Untervektorraum von V.
Du könntest jetzt also die Abbildung nachbeschränkt auf [mm] [/mm] betrachten.
Bevor Du die Abbildungsmatrix bzgl der Standardbasis und [mm] (f_1, f_2, f_3) [/mm] aufstellst, mußt Du zuvor prüfen, ob die drei Funktionen wirklich unabhängig sind. Andernfalls ist das Aufstellen der Matrix sinnlos.
> Mit Hilfe dieser Matrix kann ich nun Kern und Bild ohne
> weiteres bestimmen. Nur der Faktorraum macht mir weiterhin
> Probleme.
Zum Faktorraum ggf. später mehr, zur Minute werde ich eingebaut von Kaffeetassen und Kuchen, und ich ziehe mit dem Laptop auf dem Eßtisch den Zorn meiner Familie auf mich.
Gruß v. Angela
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> V sei der [mm]\IR-lineare[/mm] Raum aller Abbildungen f : [mm]\IR[/mm] [mm]\to[/mm]
> [mm]\IR. f_{1} ,f_{2}[/mm] , [mm]f_{3}[/mm] ∈ V seien
> definiert durch [mm]f_{1}(x)[/mm] := [mm]e^{x}[/mm] , [mm]f_{2}(x)[/mm] :=
> [mm]\wurzel{x^{2} + 1}, f_{3}(x)[/mm] := [mm]\bruch{1}{x^{2} + 1}[/mm] .
> Die lineare Abbildung φ : [mm]\IR^{3}[/mm] [mm]\to[/mm] V erfülle:
> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1} \mapsto f_{1}[/mm] + [mm]f_{3}[/mm]
> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0} \mapsto 2f_{1}[/mm] + [mm]f_{2}[/mm] + [mm]f_{3}[/mm]
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0} \mapsto f_{1}[/mm] - [mm]3f_{2}[/mm] + [mm]4f_{3}[/mm]
> Bestimmen Sie Kern(φ) und Bild(φ) und das
> Element des Faktorraumes [mm]\IR^{3}/Kern(φ)[/mm] (und
> Bild(φ)/Kern(φ)) in dem der Vektor [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 4}[/mm]
> enthalten ist.
>
> Bild(φ) = < [mm]\vektor{1 \\ -3 \\ 4}, \vektor{1 \\ 4 \\ -3}[/mm]
> >, Kern(φ) = < [mm]\vektor{3 \\ 4 \\ 7}[/mm] >
Hallo,
so, es kann weitergehen.
Bild und Kern rechne ich nicht nach, ich gehe davon aus, daß es stimmt.
>
> So der Faktorraum ist definiert als: V/U = [mm] \{ v_{0}+ U | v_{0} \in V \}
[/mm]
Schön, daß Du die Definition des Faktorraumes hier aufschreibst.
Laß sie uns mal genauer betrachten und noch etwas allgemein über faktorräume nachdenken.:
die Elemente des Faktorraumes haben die Gestalt [mm]v_{0}[/mm] + U.
Ist Dir klar, daß das Mengen sind? Der Faktorraum ist eine Menge, die aus Mengen besteht.
Nachdem das einmal ausgesprochen würde, schauen wir uns [mm]v_{0}[/mm] + U an.
Wie ist das eigentlich definiert?
So: [mm]v_{0}[/mm] + [mm] U:=\{v_0+u | u\in U}.
[/mm]
In [mm] v_0 [/mm] + U sind also all die Vektoren, die man als Summe von [mm] v_0 [/mm] und irgendeinem Element aus U schreiben kann.
Ihr habt in der Vorlesung gezeigt, daß V/U mit den einschägigen Verknüpfungen ein Vektorraum ist, Ihr werdet auch über seine Dimension und im Zusammenhang damit über seine Basis gesprochen haben.
Nun gehen wir ans konkrete Beispiel, und zwar würde ich doch gerne zuerst [mm] \IR^3/< \vektor{3 \\ 4 \\ 7} [/mm] > behandeln.
Weißt Du, welche Dimension dieser VR hat und kannst Du eine Basis sagen? Das wird nicht allzu selten verlangt. Oftmals fällt das schwer - nicht, weil es wirklich rechnerisch schwer ist, sondern weil diese Faktorräume vielen anfangs oft etwas mysteriös erscheinen. Daher ein Tip: ergänze erstmal [mm] \vektor{3 \\ 4 \\ 7} [/mm] zu einer Basis des [mm] \IR^3 [/mm] und vergiß nicht, von welcher Machart die Elemente des [mm] \IR^3/< \vektor{3 \\ 4 \\ 7} [/mm] > sind. Von derselben Machart sind natürlich auch die Basisvektoren. Die Basis brauchen wir hier aber eigentlich nicht. Das war nur so.
Die Frage, in welchem Element der Faktorraumes der Vektor [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 4}[/mm] enthalten ist, finde ich nach wie vor - nicht nahrhaft.
Suchen muß man ein [mm] v_0 [/mm] so, daß es ein [mm] \lambda [/mm] gibt mit [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 4}=v_0 [/mm] + [mm] \lambda \vektor{3 \\ 4 \\ 7} [/mm] .
Da bin ich schnell fertig mit [mm] v_0:= \vektor{1 \\ -1 \\ 4}. [/mm] es ist doch [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 4}=v_0+0*\vektor{3 \\ 4 \\ 7} [/mm] .
Es lassen sich hier (je nach ausgesuchtem [mm] \lambda) [/mm] sehr viele [mm] v_0 [/mm] finden. Das Interessante ist, daß all die gefundenen Menge gleich sind.
Es ist [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 4}+ [/mm] < [mm] \vektor{3 \\ 4 \\ 7} [/mm] > = [mm] \vektor{-2 \\ -5 \\ -3}+ [/mm] < [mm] \vektor{3 \\ 4 \\ 7} [/mm] >
> Nun mal am Beispiel von Bild(φ)/Kern(φ):
Hier werde ich stutzig: sinnvoll ist das ja nur, wenn [mm] Kern\varphi [/mm] ein Unterraum von [mm] Bild\varphi [/mm] ist.
Das ist bei den von Dir ausgerechnenten Bild- und Kernbasen aber nicht der Fall.
Zweierlei ist denkbar: entweder ist diese Teilaufgabe sinnlos, oder Du hast Dich bei der Bestimmung von Bild und Kern vertan.
Prüfe das zunächst nach, danach können wir weitersehen
Gruß v. Angela
> Es muss doch dann gelten: [mm]\vektor{a \\ b \\ c}[/mm] + [mm]\vektor{3 \\ 4 \\ 7}[/mm]
> = [mm]\vektor{1 \\ -1 \\4}[/mm]
> und der Vektor [mm]\vektor{a \\ b \\c}[/mm]
> dann als Linearkombinationen des Bildes geschrieben oder
> nicht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Mo 09.02.2009 | | Autor: | Pille456 |
Also $ [mm] \IR^3/< \vektor{3 \\ 4 \\ 7} [/mm] $ > zu bestimmen ist original eine Aufgabe von einem Übungsblatt, was wir bekommen hatten. Die andere habe ich mir selber ausgedacht und anscheinend nicht sinnvoll.
Der Vektorraum $ [mm] \IR^3/< \vektor{3 \\ 4 \\ 7} [/mm] $ > hat doch die Dimension drei, da es alle Vektoren aus [mm] \IR^{3} [/mm] sind die um [mm] \vektor{3 \\ 4 \\ 7} [/mm] "verschoben" sind. Entsprechend wäre doch eine Basis die Einheitsbasis E = < [mm] e_{1}, e_{2},e_{3} [/mm] > mit den Einheitsvektoren oder nicht?
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> Also [mm]\IR^3/< \vektor{3 \\ 4 \\ 7}[/mm] > zu bestimmen ist
> original eine Aufgabe von einem Übungsblatt, was wir
> bekommen hatten. Die andere habe ich mir selber ausgedacht
> und anscheinend nicht sinnvoll.
> Der Vektorraum [mm]\IR^3/< \vektor{3 \\ 4 \\ 7}[/mm] > hat doch die
> Dimension drei, da es alle Vektoren aus [mm]\IR^{3}[/mm] sind die um
> [mm]\vektor{3 \\ 4 \\ 7}[/mm] "verschoben" sind.
Hallo,
oh nein!
Ich hatte ja extra etwas weiter ausgeholt, um Dir klarzumachen, daß die Elemente dieses Vektorraumes Mengen sind.
Es sind Mengen der Gestalt [mm] v_0+<\vektor{3 \\ 4 \\ 7}>.
[/mm]
Wenn Du Dir jetzt mal überlegst, was sich hinter [mm] <\vektor{3 \\ 4 \\ 7}> [/mm] verbirgt, wirst Du feststellen, daß Du diese Mengen bereits aus der Schule kennst.
Einen Tip zur Bestimmung eines Erzeugendensystems bzw. eine Basis des Raumes [mm]\IR^3/< \vektor{3 \\ 4 \\ 7}[/mm] > hatte ich Dir ja zuvor schon gegeben.
Vielleicht setzt Du das mal um und denkst an der Stelle weiter.
> Entsprechend wäre
> doch eine Basis die Einheitsbasis E = < [mm]e_{1}, e_{2},e_{3}[/mm]
> > mit den Einheitsvektoren oder nicht?
Hast Du Dir mein Post zu den Faktorräumen durchgelesen? Ich habe dort zu erklären versucht, von welcher Art die Elemente des Faktorraumes sind, und ich habe daraufhingewiesen, daß seine Basis natürlich auch aus solchen Elementen bestehen muß.
Schon aus dem Grund, daß die Elemente des [mm] \IR^3/< \vektor{3 \\ 4 \\ 7}[/mm] [/mm] > völlig andere sind als die des [mm] \IR^3, [/mm] können die beiden Räume nicht dieselbe Basis haben.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Mo 09.02.2009 | | Autor: | Pille456 |
Hmm okay:
$ [mm] v_0+<\vektor{3 \\ 4 \\ 7}>. [/mm] $ mit [mm] v_0 \in \IR^3 [/mm] sind alle Elemente des Faktorraumes. [mm] <\vektor{3 \\ 4 \\ 7}> [/mm] erzeugt eine Gerade in [mm] \IR^3 [/mm] und ein Element [mm] v_0 [/mm] (inkl. der Addition) verschiebt diese Gerade doch oder? Also sind alle Elemente des Faktorraums [mm] \IR^3/<\vektor{3 \\ 4 \\ 7}> [/mm] Vektorräume oder nicht?
Also müsste eine Basis dieses Faktorraumes aus Vektorräume bestehen oder wie?
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> Hmm okay:
> [mm]v_0+<\vektor{3 \\ 4 \\ 7}>.[/mm] mit [mm]v_0 \in \IR^3[/mm] sind alle
> Elemente des Faktorraumes. [mm]<\vektor{3 \\ 4 \\ 7}>[/mm] erzeugt
> eine Gerade in [mm]\IR^3[/mm] und ein Element [mm]v_0[/mm] (inkl. der
> Addition) verschiebt diese Gerade doch oder?
Aha! Wir nähern uns mit großen Schritten der Wahrheit.
Mit Deinen Geraden liegst Du extrem gut. Der betrachtete Quotientenraum enthält sämtliche Geraden, die parallel zur Gerade [mm] <\vektor{3 \\ 4 \\ 7}> [/mm] sind.
(Falls Du Lehramtsstudent/in bist, wäre hiermit der Bogen zum Schulunterricht geschlagen.)
> Also sind alle
> Elemente des Faktorraums [mm]\IR^3/<\vektor{3 \\ 4 \\ 7}>[/mm]
> Vektorräume oder nicht?
Nein. Es sind - falls Ihr das hattet - affine Unterräume der Dimension 1.
Du solltest Dir unbedingt überlegen, warum beispielsweise das Element [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] + [mm] <\vektor{3 \\ 4 \\ 7}> [/mm] kein Vektorraum ist.
> Also müsste eine Basis dieses Faktorraumes aus Vektorräume
> bestehen oder wie?
Die Basis besteht aus solchen Geraden.
Wenn Du Dir den Hinweis mit der Basisergänzung anschaust, wirst Du sie bald gefunden haben, ich möchte es Dir ungern vormachen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Mo 09.02.2009 | | Autor: | Pille456 |
Ahja, alles klar, okay zu schnell von mir gedacht. Danke erstmal!
Also $ [mm] \IR^3/<\vektor{3 \\ 4 \\ 7}> [/mm] $ enthält alle Geraden in [mm] \IR^3 [/mm] die parallel zu [mm] <\vektor{3 \\ 4 \\ 7}> [/mm] sind.
Naja $ [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] $ + $ [mm] <\vektor{3 \\ 4 \\ 7}> [/mm] $ kann ja gar kein Vektorraum sein, denn es sind ja nur alle Geraden die die Form: [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] $ + [mm] 0*\vektor{3 \\ 4 \\ 7}, \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] $ + [mm] 1*\vektor{3 \\ 4 \\ 7}, \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] $ + [mm] 2*\vektor{3 \\ 4 \\ 7} [/mm] usw. haben oder?
Daher ist die Dimension dieses Faktorraumes doch 1 oder? Also muss ich nur ein Element finden, was diesen Faktorraum komplett erzeugt und schon habe ich eine Basis. Okay wie sieht das aus..? Ginge nicht theoretisch soetwas: < [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] $ + [mm] a*\vektor{3 \\ 4 \\ 7}> [/mm] a [mm] \in \IR
[/mm]
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> Ahja, alles klar, okay zu schnell von mir gedacht. Danke
> erstmal!
> Also [mm]\IR^3/<\vektor{3 \\ 4 \\ 7}>[/mm] enthält alle Geraden in
> [mm]\IR^3[/mm] die parallel zu [mm]<\vektor{3 \\ 4 \\ 7}>[/mm] sind.
Ja.
> Naja [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] + [mm]<\vektor{3 \\ 4 \\ 7}>[/mm]
> kann ja gar kein Vektorraum sein,
Das ist richtig.
> denn es sind ja nur alle
> Geraden die die Form: [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] + [mm]0*\vektor{3 \\ 4 \\ 7}, \vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] + [mm]1*\vektor{3 \\ 4 \\ 7}, \vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] + [mm]2*\vektor{3 \\ 4 \\ 7}[/mm] usw. haben oder?
Puh! Das ist ziemlicher Unfug.
Das, was Du hier aufzählst sind keine Geraden.
Es sind Elemente von [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] + [mm] <\vektor{3 \\ 4 \\ 7}>.
[/mm]
Und [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] + [mm] <\vektor{3 \\ 4 \\ 7}> [/mm] ist ein einziges der vielen Elemente des Faktorraumes [mm] \IR^3/<\vektor{3 \\ 4 \\ 7}>, [/mm] den wir gerade betrachten.
Die Frage ist noch nicht beantwortet: warum ist [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] + [mm] <\vektor{3 \\ 4 \\ 7}> [/mm] kein Untervektorraum des [mm] \IR^3?
[/mm]
(Kannst Du vielleicht mal etwas ins Profil eintragen, was einen Hinweis auf Dein Studienfach gibt? das ist zum Antworten manchmal nicht ganz unerheblich. )
> Daher ist die Dimension dieses Faktorraumes doch 1 oder?
Nein, [mm] \IR^3/<\vektor{3 \\ 4 \\ 7}> [/mm] hat nicht die Dimension 1.
[mm] \IR^3/<\vektor{3 \\ 4 \\ 7}> [/mm] hat die Dimension 3-1=2.
Zum Finden einer Basis ergänze zunächst [mm] \vektor{3 \\ 4 \\ 7} [/mm] zu einer Basis des [mm] \IR^3.
[/mm]
Dann können wir weitersehen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Mo 09.02.2009 | | Autor: | Pille456 |
Danke erstmal für deine Hilfe. Ich studiere Informatik(werde das gleich mal im Profil nachtragen) gehe aber eigentlich noch zur Schule. Ist halt so ein spezielles Projekt vonner Uni, dass Schüler normal wie Studenten Vorlesungen besuchen dürfen - Problem halt, dass man recht selten an der Uni (wegen normalem Schüleralltag) ist und daher nur recht schwer an Hilfe kommt :)
Hmm also okay, nochmal ein dritter Versuch:
Die Elemente von [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] + [mm] <\vektor{3 \\ 4 \\ 7}> [/mm] sind alle Geraden. [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] + [mm] <\vektor{3 \\ 4 \\ 7}> [/mm] ist ein Element aus diesem Faktorraum, also auch eine Gerade. Genauso wie z.B. [mm] \vektor{ 5\\ 8 \\ 10} [/mm] + [mm] <\vektor{3 \\ 4 \\ 7}> [/mm] ein Element dieses Faktorraumes ist.
Da eine Gerade in Mengenschreibweise sehr viele(bei einer Gerade sogar unendlich) Punkte im betrachteten Raum darstellt ist jedes Element des Faktorraumes eine Menge, daher ist der Faktorraum ein Mengensystem.
Also suche ich nun Vektoren die genau diese Mengen erzeugen. Also suche ich Vektoren die, die Gerade [mm] <\vektor{3 \\ 4 \\ 7}> [/mm] und alle(wobei [mm] v_0 \in \IR^3) [/mm] ihre parallelen erzeugt oder?
Wenn ich mir nun alle Geraden die parallel in [mm] \IR^3 [/mm] liegen vorstelle, habe ich dann nicht eine Ebene in [mm] \IR^3, [/mm] also ein Unterraum mit Dimension 2?
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> Danke erstmal für deine Hilfe. Ich studiere
> Informatik(werde das gleich mal im Profil nachtragen) gehe
> aber eigentlich noch zur Schule. Ist halt so ein spezielles
> Projekt vonner Uni, dass Schüler normal wie Studenten
> Vorlesungen besuchen dürfen - Problem halt, dass man recht
> selten an der Uni (wegen normalem Schüleralltag) ist und
> daher nur recht schwer an Hilfe kommt :)
Himmel!!! Es ist wirklich hilfreich, so etwas zu wissen - die Reizschwelle verändert sich... Du bist also Schülerstudent, Vorstudent, oder wie auch immer das richtig heißt.
> Hmm also okay, nochmal ein dritter Versuch:
> Die Elemente von [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] + [mm]<\vektor{3 \\ 4 \\ 7}>[/mm]
> sind alle Geraden.
Ogottogott. Nein.
[mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] + [mm]<\vektor{3 \\ 4 \\ 7}>[/mm] ist (!) eine Gerade.
Falls Ihr in der Schule schon lineare Geometrie und dieParameterdarstellung der Geradengleichung hattet:
es ist die Gerade g mit der Parameterdarstellung g: [mm] \vec{x}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{3 \\ 4 \\ 7}.
[/mm]
Der Faktorraum [mm] \IR^3/<\vektor{3 \\ 4 \\ 7}> [/mm] besteht nun aus ganz vielen solcher zu [mm] <\vektor{3 \\ 4 \\ 7}> [/mm] parallelen Geraden.
> [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] + [mm]<\vektor{3 \\ 4 \\ 7}>[/mm]
> ist ein Element aus diesem Faktorraum,
aus dem Faktorraum [mm] \IR^3/<\vektor{3 \\ 4 \\ 7}>
[/mm]
> also auch eine
> Gerade.
Ja.
> Genauso wie z.B. [mm]\vektor{ 5\\ 8 \\ 10}[/mm] +
> [mm]<\vektor{3 \\ 4 \\ 7}>[/mm] ein Element dieses Faktorraumes ist.
Ja!!!!!!!!!!
> Da eine Gerade in Mengenschreibweise sehr viele(bei einer
> Gerade sogar unendlich) Punkte im betrachteten Raum
> darstellt ist jedes Element des Faktorraumes eine Menge,
> daher ist der Faktorraum ein Mengensystem.
Ganz genau.
Nun würde in der Vorlesung gezeigt, daß der Faktorraum ein Vektorraum ist.
Die Vektoren dieses Raumes sind Mengen - und das ist man von der Schule nicht gewöhnt.
>
> Also suche ich nun Vektoren
also hier: solche Mengen
> die genau diese Mengen
> erzeugen.
Also suche ich Vektoren die, die Gerade
> [mm]<\vektor{3 \\ 4 \\ 7}>[/mm] und alle(wobei [mm]v_0 \in \IR^3)[/mm] ihre
> parallelen erzeugt oder?
Ja.
Dazu mußt Du Dir angucken, wie die Verknüpfungen im Faktorraum V/Rdefiniert sind:
[mm] (v_1+U) [/mm] + [mm] (v_2+U)=(v_1+v-2)+U
[/mm]
[mm] \lambda (v_1+U) =\lambda v_1+U [/mm]
> Wenn ich mir nun alle Geraden die parallel in [mm]\IR^3[/mm] liegen
> vorstelle, habe ich dann nicht eine Ebene in [mm]\IR^3,[/mm] also
> ein Unterraum mit Dimension 2?
Nein. Bedenke, daß es im [mm] \IR^3 [/mm] auch noch parallele Geraden über und unter den von Dir bedachten gibt. Wei ein Schuhkarton, der randvoll mit ordentlich parallelen Spaghetti ausgefüllt ist.
Mit dieser Überlegung nähert man sich aber der Basis des Faktorraumes:
Die Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] ergänzen den Vektor [mm] \vektor{3 \\ 4 \\ 7} [/mm] zu einer Basis des [mm] \IR^3,
[/mm]
und Du kannst Dir jetzt mal überlegen, daß [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm]<\vektor{3 \\ 4 \\ 7}>[/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm]<\vektor{3 \\ 4 \\ 7}>[/mm] zusammen eine Basis es Faktorraumes [mm] \IR^3/<\vektor{3 \\ 4 \\ 7}> [/mm] sind.
Gruß v. Angela
Nachtrag zu der frage aus dem anderen Post: die [mm] v_0 [/mm] + U sind keine Untervektorräume, denn sie enthalten mit einer Ausnahme überhaupt nicht den Nullvektor.
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