Faktorregel + Integr.Konstante < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 Di 04.01.2022 | | Autor: | magics |
| Aufgabe | Zu lösen ist das unbestimmte Integral
[mm] \integral_{}^{}{ax dx} [/mm] |
Hallo,
nachfolgend sind zwei Lösungen präsentiert, die gemäß der Integrationsregeln korrekt sind, doch in der ersten scheint die Integrationskonstante [mm] $C_1$ [/mm] zusätzlich von der Konstanten $a$ abzuhängen. Darf man das einfach bestimmen?
[mm] $\integral_{}^{}{ax dx} [/mm] = a [mm] \integral_{}^{}{x dx} [/mm] = [mm] a(\bruch{1}{2}x^2 [/mm] + [mm] C_1) [/mm] = [mm] \bruch{a}{2}x^2 [/mm] + [mm] aC_1$
[/mm]
[mm] $\integral_{}^{}{ax dx} [/mm] = [mm] \bruch{a}{2}x^2 [/mm] + [mm] C_1$
[/mm]
Beste Grüße
Thomas
|
|
| |
|
Hallo, löse doch mal die Klammer auf, Steffi
|
|
|
| |
|
> [mm]\integral_{}^{}{ax dx} = a \integral_{}^{}{x dx} = a(\bruch{1}{2}x^2 + C_1) = \bruch{a}{2}x^2 + aC_1[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{ax dx} = \bruch{a}{2}x^2 +[/mm] [mm] C_{\red{2}} [/mm]
mit [mm] aC_1 [/mm] = [mm] C_2, [/mm] beides konstant.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:23 Mi 05.01.2022 | | Autor: | tobit09 |
Hallo HJKweseleit,
was soll
> [mm]aC_1[/mm] = [mm]C_2,[/mm]
bedeuten? Ist damit die Gleichheit zweier Objekte gemeint? Wenn ja: Welche Objekte sind gemeint? Wenn nein: Welche Aussage ist stattdessen gemeint?
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
Bevor es (s. die anderen Beiträge) zu theoretisch wird:
Um ein Integral zu berechnen, bestimmt man eine Stammfunktion und setzt dann die Grenzen ein.
Die Schwierigkeit besteht nun i.A. darin, die passende Stammfunktion zu finden (Merkregel: Differenzieren kannste alles, Integrieren nix).
Daher gibt es Regeln und Tabellen, die zu gegebenen Funktionen "die" Stammfunktion angeben, wobei man dann selber noch die Grenzen einsetzen muss.
Es gibt aber zu einem Integranden nicht nur eine, sondern unendlich viele Stammfunktionen, die sich aber alle nur durch eine (jeweils andere) Konstante unterscheiden, die sich aber nach Einsetzen der Grenzen weghebt und die man deshalb beliebig (!!!) wählen oder verändern kann.
Bekomme ich also bei einem Integral auf einem Weg [mm] aC_1 [/mm] und auf einem anderen Weg [mm] C_2 [/mm] als Konstante, so kann ich beide gegeneinander austauschen, da ihre Differenz ebenfalls eine Konstante ist:
[mm] \integral{f(x) dx} [/mm] = [mm] g(x)+aC_1 [/mm] ändere ich durch Addition der Konstanten [mm] C_2 [/mm] - [mm] aC_1 [/mm] in
[mm] \integral{f(x) dx} [/mm] = [mm] g(x)+aC_1 [/mm] + [mm] C_2 [/mm] - [mm] aC_1 [/mm] = [mm] \integral{f(x) dx} [/mm] = [mm] g(x)+C_2
[/mm]
Ich kann auch [mm] aC_1 [/mm] zusammenfassen zu [mm] C_2, [/mm] was auf das selbe hinausläuft.
Manchmal sieht so etwas ganz kurios aus:
Es ist [mm] -(cos(x)^2 [/mm] nach x abgeleitet -2 cos(x)(-sin(x))=2 cos(x)sin(x).
Es ist [mm] (sin(x))^2 [/mm] nach x abgeleitet 2 sin(x)cos(x).
Ist dann [mm] \integral{2 sin(x)cos(x) dx} [/mm] = [mm] (sin(x))^2 [/mm] oder = - [mm] (cos(x))^2 [/mm] ?
Beides ist richtig, und beim Einsetzen von Grenzen kommt in beiden Fällen das selbe heraus.
Addiert man nämlich 1 zu - [mm] (cos(x))^2, [/mm] so erhält man 1 - [mm] (cos(x))^2 [/mm] = [mm] (sin(x))^2.
[/mm]
Beiden Stammfunktionen sieht man auf den ersten Blick nicht an, dass sie sich nur durch eine Konstante unterscheiden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:01 Mi 05.01.2022 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Thomas,
bevor es Sinn macht, sich zu fragen, ob deine Gleichungsketten korrekt sind, muss geklärt werden, was sie eigentlich bedeuten sollen.
Ich nehme an, dass $a$ eine beliebige reelle Zahl sein soll.
> [mm]\integral_{}^{}{ax dx} = \bruch{a}{2}x^2 + C_1[/mm]
Dies ist eine übliche Schreibweise für folgende Aussage:
Die Stammfunktionen der Funktion [mm] $\mathbb{R}\to\mathbb{R},\; x\mapsto [/mm] ax$ sind genau die Funktionen [mm] $\mathbb{R}\to\mathbb{R},\;x\mapsto\bruch{a}{2}x^2+C_1$ [/mm] für [mm] $C_1\in\mathbb{R}$.
[/mm]
Es handelt sich also nicht um eine klassische Gleichheitsaussage zweier Objekte, sondern um eine "Gesamt-Schreibweise" einer Aussage.
> [mm]\integral_{}^{}{ax dx} = a \integral_{}^{}{x dx} = a(\bruch{1}{2}x^2 + C_1) = \bruch{a}{2}x^2 + aC_1[/mm]
Hier ist aus meiner Sicht völlig unklar, was diese "Gleichungskette" bedeuten soll.
Wer diese Gleichungskette für "korrekt" hält, müsste wohl bei jeder der drei Gleichungen erklären können, was sie eigentlich bedeuten/aussagen soll, ähnlich wie ich das oben für die übliche Schreibweise getan habe.
(Ein zusätzliches Problem wird es wohl im Falle $a=0$ geben.)
> nachfolgend sind zwei Lösungen präsentiert, die gemäß
> der Integrationsregeln korrekt sind
Wirklich? Kennst du Integrationsregeln für unbestimmte Integrale, die die von dir verwendeten Schreibweisen erlauben?
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Mi 05.01.2022 | | Autor: | magics |
| Aufgabe | [Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo Tobias,
du hast recht, es geht um unbestimmte Integrale. Ich habe die ursprüngliche Aufgabe hochgeladen und im zweiten Bild die Stelle markiert, wo die Umformung stattfindet.
Um auf deine Rückfrage zu antworten, was das eigentlich bedeuten soll:
Man hat die Umformung
$ - [mm] \bruch{q}{2EI} \integral [/mm] (lx - [mm] x^2) [/mm] dx = - [mm] \bruch{q}{2EI} (\bruch{1}{2}lx^2-\bruch{1}{3}x^3+C_1)$
[/mm]
vorgenommen, um sich den Faktor $- [mm] \bruch{q}{2EI}$ [/mm] aus jedem Summanden ausklammern zu können. Hätte ich den Vorfaktor jedoch nicht ausgeklammert, stünde nach der Umformung
$- [mm] \bruch{q}{2EI} (\bruch{1}{2}lx^2-\bruch{1}{3}x^3)+C_1$
[/mm]
da.
Darauf bezog sich mein vereinfachtes Beispiel.
Beste Grüße
Thomas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Hallo, möchtest Du [mm] C_1 [/mm] beibehalten, dann bitte auch [mm] -\bruch{q}{2EI}*C_1, [/mm] Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:15 Do 06.01.2022 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Thomas,
mein Punkt scheint noch nicht richtig verstanden worden zu sein.
> Man hat die Umformung
>
> [mm]- \bruch{q}{2EI} \integral (lx - x^2) dx = - \bruch{q}{2EI} (\bruch{1}{2}lx^2-\bruch{1}{3}x^3+C_1)[/mm]
>
> vorgenommen
Ich sehe Schwierigkeiten, dies als "Umformung" zu interpretieren:
Wie soll $- [mm] \bruch{q}{2EI} \integral [/mm] (lx - [mm] x^2) [/mm] dx$, also ein Produkt aus einer Zahl und einem unbestimmten Integral, definiert sein?
Was soll [mm] $C_1$ [/mm] genau für ein Objekt sein? Eine Zahl? Eine Funktion? Eine Menge? Welche Zahl/Funktion/Menge genau?
Aus meiner Sicht lässt sich diese "Gleichheitsaussage" nicht als Gleichheit zweier Objekte interpretieren, sondern lediglich als symbolische "Gesamt-Schreibweise", deren genaue Bedeutung noch zu klären wäre.
Man kann jedoch zeigen, wenn [mm] $q\neq [/mm] 0$ vorausgesetzt ist (was vermutlich aus der Sachsituation entnommen werden kann):
(Ich verwende [mm] $a:=-\frac{q}{2EI}\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$.)
[/mm]
Die Stammfunktionen der Funktion [mm] $\IR\to\IR,\quad x\mapsto a(lx-x^2)$ [/mm] sind genau die Funktionen [mm] $\IR\to\IR,\quad x\mapsto a(\frac{1}{2}lx^2-\frac{1}{3}x^3+C_1)$ [/mm] mit [mm] $C_1\in\IR$. [/mm] (*)
> um sich den Faktor [mm]- \bruch{q}{2EI}[/mm] aus jedem
> Summanden ausklammern zu können. Hätte ich den Vorfaktor
> jedoch nicht ausgeklammert, stünde nach der Umformung
>
> [mm]- \bruch{q}{2EI} (\bruch{1}{2}lx^2-\bruch{1}{3}x^3)+C_1[/mm]
>
> da.
Man kann ebenso zeigen:
Die Stammfunktionen von [mm] $\IR\to\IR,\quad x\mapsto a(lx-x^2)$ [/mm] sind genau die Funktionen [mm] $\IR\to\IR,\quad x\mapsto [/mm] a [mm] (\bruch{1}{2}lx^2-\bruch{1}{3}x^3)+C_1$ [/mm] mit [mm] $C_1\in\mathbb{R}$.
[/mm]
Das ist kein Wiederspruch zu (*). Es gibt eben viele verschiedene Möglichkeiten, die Gesamtheit aller Stammfunktionen darzustellen.
(Insofern ist mir die Antwort von Steffi21 leider völlig schleierhaft.)
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Mo 10.01.2022 | | Autor: | fred97 |
> Zu lösen ist das unbestimmte Integral
>
> [mm]\integral_{}^{}{ax dx}[/mm]
> Hallo,
>
> nachfolgend sind zwei Lösungen präsentiert, die gemäß
> der Integrationsregeln korrekt sind, doch in der ersten
> scheint die Integrationskonstante [mm]C_1[/mm] zusätzlich von der
> Konstanten [mm]a[/mm] abzuhängen. Darf man das einfach bestimmen?
>
> [mm]\integral_{}^{}{ax dx} = a \integral_{}^{}{x dx} = a(\bruch{1}{2}x^2 + C_1) = \bruch{a}{2}x^2 + aC_1[/mm]
Im Falle $a=0$ stimmt das nicht.
>
> [mm]\integral_{}^{}{ax dx} = \bruch{a}{2}x^2 + C_1[/mm]
Das stimmt im Falle $a=0.$
>
> Beste Grüße
> Thomas
Schreiben wir das mal formal auf: dazu sei $I [mm] \subseteq \IR$ [/mm] ein Intervall und $f:I [mm] \to \IR$ [/mm] stetig. Dann betrachten wir die folgende Menge:
$S(f):= [mm] \{F \in C^1(I): F'=f \}$,
[/mm]
also die Menge aller Stammfunktionen von $f$ auf $I$.
Nun sei [mm] $F_0 \in [/mm] S(f)$ fest gewählt. Dann ist
[mm] $S(f)=\{F_0+C: C \in \IR\}.$
[/mm]
Ist dann $a [mm] \in \IR$ [/mm] so sind zwei Fälle zu unterscheiden:
Fall 1: $a=0$. Dann ist $S(af)= [mm] \IR.$
[/mm]
Fall 2: $a [mm] \ne [/mm] 0.$ Dann ist
$S(af)= [mm] \{aF_0+C: C \in \IR\}= \{aF_0+aC : C \in \IR \}.$
[/mm]
(C durchläuft ganz [mm] \IR \gdw [/mm] aC durchläuft ganz [mm] \IR.)
[/mm]
|
|
|
|
