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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 Mo 31.05.2010 | | Autor: | oeli1985 |
| Aufgabe | Wann ist ein Faktorring im Allgemeinen ein Integritätsring?
bzw.
Beweisen Sie die Behauptung: [mm] R_{/I} [/mm] ist Integritätsring [mm] \gdw [/mm] I [mm] \subset [/mm] R ist Primideal |
Hallo zusammen,
ich beschäftige mich gerade mit der oben beschriebenen Behauptung. Der Beweis im Spezialfall der Restklassenringe ist auch kein Problem, aber in diesem Fall komme ich einfach nicht voran.
Ich denke ich zeige erstmal das bißchen, was ich habe und hoffe ihr könnt mir dann weiterhelfen.
"<="
sei [mm] R_{/I} [/mm] die Menge aller Nebenklassen des Ideal I in R
z.zg.: [mm] \exists [/mm] kein xI [mm] \in R_{/I} [/mm] \ [mm] \{0\} [/mm] : [mm] \exists [/mm] yI [mm] \in R_{/I} [/mm] \ [mm] \{0\} [/mm] : xIyI=0
sei R ein Ring und I [mm] \subset [/mm] R ist ein Primideal [mm] \Rightarrow [(\forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] R:xy [mm] \in [/mm] I) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] I oder y [mm] \in [/mm] I] und I [mm] \not= [/mm] R
xIyI=0 [mm] \Rightarrow [/mm] xyI=0 [mm] \Rightarrow [/mm] xy=0 [mm] \Rightarrow [/mm] ???
An dieser Stelle liegt nun mein Problem. Natürlich weiss ich, dass ich jetzt folgern muss, dass x=0 oder y=0 und ich weiss auch, dass ich aus der Voraussetzung folgern kann, dass xy [mm] \in [/mm] I und dann x [mm] \in [/mm] I oder y [mm] \in [/mm] I.
ABER woher weiss ich denn nun, dass wirklich kein Nullteiler existiert und somit x=0 oder y=0 sein muss?
Bin für jede Hilfe dankbar. Grüße,
Patrick
P.S.: Darf ich eigentlich anstelle von xI auch [x] im Sinne der Restklassen schreiben, weil [mm] R_{/I} [/mm] isomorph zu [mm] \IZ /_{m\IZ} [/mm] ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:54 Mo 31.05.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Patrick!
> Wann ist ein Faktorring im Allgemeinen ein
> Integritätsring?
>
> bzw.
>
> Beweisen Sie die Behauptung: [mm]R_{/I}[/mm] ist Integritätsring
> [mm]\gdw[/mm] I [mm]\subset[/mm] R ist Primideal
>
> Hallo zusammen,
> ich beschäftige mich gerade mit der oben beschriebenen
> Behauptung. Der Beweis im Spezialfall der Restklassenringe
> ist auch kein Problem, aber in diesem Fall komme ich
> einfach nicht voran.
>
> Ich denke ich zeige erstmal das bißchen, was ich habe und
> hoffe ihr könnt mir dann weiterhelfen.
>
> "<="
> sei [mm]R_{/I}[/mm] die Menge aller Nebenklassen des Ideal I in R
>
> z.zg.: [mm]\exists[/mm] kein xI [mm]\in R_{/I}[/mm] \ [mm]\{0\}[/mm] : [mm]\exists[/mm] yI [mm]\in R_{/I}[/mm]
> \ [mm]\{0\}[/mm] : xIyI=0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> sei R ein Ring und I [mm]\subset[/mm] R ist ein Primideal
> [mm]\Rightarrow [(\forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] R:xy [mm]\in[/mm] I) [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm]
> I oder y [mm]\in[/mm] I] und I [mm]\not=[/mm] R
Das stimmt doch gar nicht. Du meinst $I [mm] \neq [/mm] R [mm] \wedge \forall [/mm] x, y [mm] \in [/mm] R : (x y [mm] \in [/mm] I [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] I [mm] \text{ oder } [/mm] y [mm] \in [/mm] I)$
(Wenn du den Unterschied zu dem nicht siehst, was du schriebst, denk nochmal genau ueber die Klammerung nach.)
> xIyI=0 [mm]\Rightarrow[/mm] xyI=0 [mm]\Rightarrow[/mm] xy=0 [mm]\Rightarrow[/mm] ???
Quark. Aus $xyI = 0$ folgt $xy [mm] \in [/mm] I$. (Bzw. es ist aequivalent dazu.)
> An dieser Stelle liegt nun mein Problem. Natürlich weiss
> ich, dass ich jetzt folgern muss, dass x=0 oder y=0 und ich
Nein! Du musst folgern: $x I = 0$ oder $y I = 0$, also aequivalent: $x [mm] \in [/mm] I$ oder $y [mm] \in [/mm] I$.
> P.S.: Darf ich eigentlich anstelle von xI auch [x] im
> Sinne der Restklassen schreiben,
Ja.
> weil [mm]R_{/I}[/mm] isomorph zu [mm]\IZ /_{m\IZ}[/mm] ist?
Das ist hochgradig falsch, ausser fuer ganz, ganz wenige Ringe.
LG Felix
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