Faktorstruktur, Klasseneinteil < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:42 Di 19.10.2004 | | Autor: | Toyo |
Hallo, ich hab hier eine Aufgabe bei der ich nicht weiterkomme, hoffentlich könnt ihr mir helfen.
Die Aufgabe lautet wie folgt:
gegeben: a,b [mm] \in \IZ [/mm] durch a ~ b : [mm] \gdw \exists [/mm] g [mm] \in \IZ [/mm] mit
(a = b + 6 * g) ist eine binäre Relation [mm] \sim [/mm] definiert.
Zuerst musste man zeigen, dass [mm] \sim [/mm] eine Kongruezrelation der Gruppe ( [mm] \IZ [/mm] , + ) ist, was auch kein Problem war.
bei den anderen beiden Aufgabenteilen habe ich jedoch keine Idee, die da lauten:
b) Man bestimme die zugehörige Faktorstruktur [mm] \IZ [/mm] /~ (Strukturtafel!).
c) Man gebe eine zu dieser Faktorgruppe ( [mm] \IZ [/mm] /~ , + ) isomorphe Permutationsgruppe an
ich würde mich sehr über einige Tipps freuen, vorallem wäre es super, wenn mir jemand an einem einfachen Beispiel Klasseneinteilung, Faktorstruktur und die Strukurtafeln näher bringen könnte.
Vielen Dank im Voraus.
Gruß Toyo
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Ein erneuter Gruß!
Du hast wohl Gefallen an dem Forum gefunden, wie? 
Also... ich versuche mal allgemein ein bißchen zu erzählen und Du versuchst dann, das alles auf den vorliegenden Fall anzuwenden, Ok?
Nehmen wir mal an, wir haben eine Menge $X$ und eine zweistellige (also binäre) Relation auf dieser Menge, welche reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Wir haben so etwas immer "Äquivalenzrelation" genannt, bei euch scheint es "Kongruenzrelation" zu heißen - spielt keine Rolle. Wen kümmern schon Namen?
Also, wenn nun die Menge $X$ und die Relation [mm] $\sim$ [/mm] definiert ist, dann kann man die Menge der Äquivalenzklassen $X / [mm] \sim$ [/mm] betrachten. Und diese ist wie folgt definiert:
Zu $x [mm] \in [/mm] X$ beliebig betrachtet man die Menge aller Elemente $y [mm] \in [/mm] X$ für die gilt, dass sie in Relation zu $X$ stehen und schreibt für diese Menge dann $[x]$. In Formeln: $[x] = [mm] \{ y \in X : y \sim x \}$.
[/mm]
Ein Beispiel aus dem richtigen Leben: wenn $X$ die Menge aller Studenten eurer Uni ist und die Relation $x [mm] \sim [/mm] y$ bedeutet: " $x$ studiert dasselbe (Haupt-)Fach wie $y$", dann ergibt das eine Äquivalenzrelation.
Gegeben einen Studenten $x$, so ist die Äquivalenzklasse von $x$ die Menge aller Studenten, die das gleiche Hauptfach haben wie $x$. Natürlich gilt immer $x [mm] \in [/mm] [x]$ wegen der Reflexivität der Relation.
Nun ist es so, dass ich mir auch einen anderen Studenten des gleichen Faches hernehmen kann und dieselbe Menge konstruieren kann - es kommt das gleiche heraus! Im Klartext: $x [mm] \sim [/mm] y [mm] \Rightarrow [/mm] [x] = [y]$.
Nun ist $X / [mm] \sim [/mm] := [mm] \{ [x] : x \in X \}$ [/mm] die Menge der entstehenden Äquivalenzklassen - in unserem Beispiel wäre das die Menge der Studiengänge.
Und das ist der Sinn von solchen Relationen - man faßt gewisse Elemente zusammen. Man interessiert sich in dem Beispiel nicht mehr für die einzelnen Studenten, sondern nur noch für die Studiengänge.
Und in Deiner Aufgabe interessiert man sich nicht mehr für die Zahlen, nur noch für ihre Reste bei Division durch 6. Denn wenn $a = b + 6g$ gilt, dann heißt das doch, dass $a$ und $b$ bei Division durch 6 den gleichen Rest lassen - sie unterscheiden sich ja um ein Vielfaches von 6.
Das Interessante bei Relationen auf Gruppen ist nun, dass unter gewissen Umständen (die hier vorliegen) die Menge der Äquivalenzklassen wieder die Struktur einer Gruppe hat. Und obgleich [mm] $\IZ$ [/mm] unendlich viele Elemente hat, ist [mm] $\IZ [/mm] / [mm] \sim$ [/mm] in Deinem Beispiel endlich - es gibt nämlich nur sechs verschiedene Reste modulo 6: die Zahlen [mm] $\{ 0, 1, \ldots, 5 \}$. [/mm] Diese bilden gerade die Repräsentanten der Klassen, das heißt die Menge sieht so aus: [mm] $\IZ [/mm] / [mm] \sim [/mm] = [mm] \{ [0], [1], [2], [3], [4], [5] \}$. [/mm] Jede ganze Zahl ist nämlich äquivalent zu genau einer von diesen.
Diese Klassen kann man jetzt addieren wie die Zahlen selbst! Und das sollst Du Dir in Aufgabe b) klar machen: wenn ich zwei dieser Klassen nehme und die Summe bilde, dann ist das eine eindeutig bestimmte Klasse. Oder anders ausgedrückt: wenn $a$ bei Division durch 6 den Rest [mm] $r_1$ [/mm] läßt und $b$ bei Division durch 6 den Rest [mm] $r_2$, [/mm] dann hängt der Rest, den $a+b$ bei Division durch 6 läßt nur von [mm] $r_1$ [/mm] und [mm] $r_2$ [/mm] ab, aber nicht mehr von $a$ und $b$ selbst! Es ist nämlich eben der Rest, der bei Division von [mm] $r_1 [/mm] + [mm] r_2$ [/mm] durch 6 entsteht.
Wie erwähnt entsteht also eine Gruppenstruktur auf der Menge. Es ist eine endliche Menge mit 6 Elementen - und Du kennst bestimmt eine Permutationsgruppe, die auch 6 Elemente hat. In c) sollst Du beweisen, dass diese Gruppen ismorph sind, Du sollst also eine Bijektion angeben, welche die Gruppenstruktur erhält.
Ist jetzt die Aufgabenstellung etwas klarer geworden?
Viel Erfolg!
Lars
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:53 Do 21.10.2004 | | Autor: | Toyo |
Hi Lars, ich grüße dich auch, jo hab sehr gefallen an diesem Forum. Vielen Dank für deine Erklärung,die war echt super.
Also ich habe jetzt die Klasseneinteilung
[mm] \IZ [/mm] /~ = { {...,-6,0,6,...}, {...;-5,1,7,...}, {...,-4,2,8,...}, {...,-3,3,9,...}, {...,-2,4,10,...}, {...,-1,5,11,...}}
Und ich denke, mit der Permutationsgruppe meinst du die S3 Gruppe. Aber hierzu habe ich noch eine Frage und zwar habe ich eine Gruppentafel von ( [mm] \IZ [/mm] /~, +) aufgestellt und sie mit der der Permutationsgruppe S3 verglichen und sie stimmt nicht überein. D.h. z.B. auf der Haupdiagonalen kommt bei S3 4mal das neutrale Element vor und bei meiner "Relationsgruppe" kommt es dort nur 4 mal vor. Habe ich da einen Fehler gemacht?
Oder ist mein Ansatz falsch, ich dachte, da es einen Isomorphismus (also eine bijektive Abb.) von meiner "Relationsgruppe" in die Permutationsgruppe gibt, müssen ihre Struktur bzw Gruppentafeln gleich sein.
Und leider muss ich dich noch mit einer letzten Frage quälen, gibt es eine Methode, wie man einfach die Abb., also den Isomorphismuss bestimmen kann?
PS: Vielen Dank nochmal für deine Hilfe
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Hallo Toyo!
Das ist sehr seltsam... ich hatte bislang nicht wirklich darüber nachgedacht, aber bei näherer Betrachtung entpuppt sich das wirklich als Problem:
[mm] $S_3$ [/mm] ist nicht abelsch, aber [mm] $(\IZ [/mm] / 6 [mm] \IZ [/mm] , +)$ schon.
[mm] $S_3$ [/mm] enthält 3 Involutionen (also Elemente der Ordnung 2, bzw. Elemente $x [mm] \not= [/mm] e$ mit $x [mm] \circ [/mm] x = e$), nämlich die Transpositionen - [mm] $(\IZ [/mm] / 6 [mm] \IZ [/mm] , +)$ enthält nur eine Involution (nämlich 3).
Das sind schon zwei Hinweise, dass diese Gruppen schlecht isomorph sein können... denn Du hast Recht, die Gruppentafeln sollten übereinstimmen.
Daher stimme ich Dir hier völlig zu - einen solchen Isomorphismus kann es schlecht geben. Aber vielleicht bestand die Aufgabe ja auch darin, dies herauszufinden.  Manchmal sind die bei uns so gestellt, dass da steht "Beweisen Sie dies und jenes" und es geht gar nicht - dann ist das zu begründen und gibt Punkte.
Frag am besten Mal bei dem Dozenten nach, was der dazu meint... ich glaube, dass es nicht geht (wie alles, was ich sage unter Vorbehalt - seit ich im MatheRaum zugange bin, merke ich, wieviele Fehler ich so mache... )
Gruß,
Lars
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Hallo ihr zwei,
Es gibt eine Permutationsgruppe, die zu der hier untersuchten Gruppe isomorph ist, aber es ist nicht die [mm] S_3. [/mm] Da alle anderen symmetrischen Gruppen nicht genau 6 Elemente haben, kann diese gesuchte Permutationsgruppe keine symmetrische Gruppe sein. Permutationsgruppen sind aber fast per Definition Untergruppen von symmetrischen Gruppen.
Buddelt mal in der [mm] S_6. [/mm] *sandkasten hinstell und schaufeln reich* ;)
Liebe Grüsse,
Irrlicht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:39 Sa 23.10.2004 | | Autor: | Gnometech |
Grüße!
Ist es nicht oft so? Mit der richtigen Definition geht alles ganz einfach.
Unter "Permutationsgruppe" verstand ich immer eine volle [mm] $S_n$. [/mm] Wenn dieser Begriff auch auf Untergruppen von solchen gemünzt werden kann, so ist die Aufgabe nahezu trivial - wenn man den Begriff einer zyklischen Gruppe kennt.
Bezeichne $(1,2,3,4,5,6)$ dasjenige Element der [mm] $S_6$, [/mm] welches 1 auf 2 abbildet, 2 auf 3 usw. und schliéßlich 6 wieder auf 1.
Und sei $U:= [mm] \langle [/mm] (1,2,3,4,5,6) [mm] \rangle \subseteq S_6$ [/mm] die davon erzeugte Untergruppe. Es sollte nicht mehr allzu schwierig sein, einen Isomorphismus [mm] $\IZ [/mm] / 6 [mm] \IZ \to [/mm] U$ anzugeben... sollten dabei Schwierigkeiten auftauchen, Toyo, schlag mal den Begriff "zyklisch" nach.
Viel Erfolg wünsche ich!
*die Schaufel an Toyo weiterreicht*
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Mo 25.10.2004 | | Autor: | Phlipper |
Also ich muss die gleiche Aufgabe machen. Bei c) verstehe ich nicht ganz, wie du das meinst. Also ich habe eine Permut.gruppe 1 --> 2, 2-->3 usw.
Wie bilde ich jetzt von meiner Faktorgruppe auf die Permut.gruppe ab ? Wäre echt nett,wenn du nochmal kurz was dazu schreiben würdest.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:08 Di 26.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Phlipper,
> Also ich muss die gleiche Aufgabe machen. Bei c) verstehe
> ich nicht ganz, wie du das meinst. Also ich habe eine
> Permut.gruppe 1 --> 2, 2-->3 usw.
> Wie bilde ich jetzt von meiner Faktorgruppe auf die
> Permut.gruppe ab ? Wäre echt nett,wenn du nochmal kurz was
> dazu schreiben würdest.
die entscheidenden Hinweise haben ja Gnometech und Irrlicht bereits gegeben.
Sie hatten festgestellt, dass [mm] $\IZ/6\IZ=\langle [1]\rangle$ [/mm] und [mm] $\langle [/mm] (1\ 2\ 3\ 4\ 5\ [mm] 6)\rangle$ [/mm] beides zyklische Gruppen mit 6 Elementen sind.
Daher ist ein Isomorphismus direkt gegeben durch die Abbildung des erzeugenden Elements der ersten Gruppe (also [1]) auf das erzeugende Element der zweiten Gruppe (also (1 2 3 4 5 6)):
[mm] $\phi: \IZ/6\IZ\ \mapsto\ \langle [/mm] (1 2 3 4 5 [mm] 6)\rangle$
[/mm]
[mm] [1]\to [/mm] (1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6)
dann gilt: [mm] $\phi(n*[1])=(1\ [/mm] 2\ 3\ 4\ 5\ [mm] 6)^n$
[/mm]
also
[mm] $[0]\to [/mm] (1)$
[mm] $[1]\to [/mm] (1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6)$
[mm] $[2]\to [/mm] (1\ 2\ 3\ 4\ 5\ [mm] 6)^2=(1\ [/mm] 3\ 5)(2\ 4\ 6)$
[mm] $[3]\to [/mm] (1\ 2\ 3\ 4\ 5\ [mm] 6)^3=(1\ [/mm] 4)(2\ 5)(3\ 6)$
[mm] $[4]\to [/mm] (1\ 2\ 3\ 4\ 5\ [mm] 6)^4=(1\ [/mm] 5\ 3)(2\ 6\ 4)$
[mm] $[5]\to [/mm] (1\ 2\ 3\ 4\ 5\ [mm] 6)^5=(6\ [/mm] 5\ 4\ 3\ 2\ 1)$
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:06 Di 26.10.2004 | | Autor: | Phlipper |
Herzlichen Dank für die Antwort. Jetzt habe ich es, denke ich, verstanden !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:30 Mi 27.10.2004 | | Autor: | Phlipper |
Hallo,ich habe auch mal versucht die Kongruenzrelation bzw. Äquivalenzrelation von a [mm] \sim [/mm] b [mm] \gdw \vee [/mm] g [mm] \in [/mm] Z a = b+ 6*g
anzugeben. Aber es kommt mir zu trivial vor. Bei Refelxivität. Was muss ich da angeben ? a = b für g = 0 ?
symterisch a = b + 6*g [mm] \Rightarrow [/mm] b + 6*g = a ???
Und transitiv ?? a + b und b + c [mm] \Rightarrow [/mm] a + c [mm] \in [/mm] Z ?
Bitte um Hilfe !
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Gruß!
Es kommt Dir nicht nur so vor - nicht umsonst sind Restklassenringe oft Inhalt unseres mathematischen Vorkurses, weil man an dem Beispiel die Äquivalenzrelationen gut üben kann.
Also, hier der absolut formale Beweis:
Definiere die Relation [mm] $\sim$ [/mm] auf [mm] $\IZ$ [/mm] durch:
$a [mm] \sim [/mm] b [mm] :\Leftrightarrow \; \exists \; [/mm] g [mm] \in \IZ [/mm] : a - b = 6g$
Behauptung: Dies ist eine Äquivalenzrelation.
Reflexivität ist klar, für $g = 0$.
Symmetrie: falls $a - b = 6g$, so folgt $b - a = -6g = 6(-g)$
Und Transitivität: falls $a - b = 6g$ und $b - c = 6h$, so folgt:
$a - c = (a - b) + (b - c) = 6g + 6h = 6(g + h)$.
Und das wars auch schon.
Lars
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