Faktorzerlegung < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:22 Do 09.09.2004 | | Autor: | y.zambas |
Hallo Matheasse!!
ich habe da ein Problem: Ich habe ein Mathe-Skript von meiner Uni, das die alten 'Schulkenntnisse' auffrischen soll. Da steht was drin von 'Faktorzerlegung' und ich kapier's einfach nicht:
Beispiel:
Der Term [mm] 49z^2-35z+6 [/mm] lässt sich in die beiden Faktoren (7z-2) und (7z-3) zerlegen:
[mm] 49z^2-35z+6 [/mm] = [mm] (7z)^2-5*7z+2*3 [/mm] = [mm] (7z)^2-(2+3)*7z+2*3 [/mm] = (7z-2)(7z-3)
Warum sollte ich diesen -ursprünglich- Term so zerlegen - bringt mir das irgendetwas? Wann oder wo kann man das anwenden? Könnt ihr mir begreiflich machen, wie ich auf die Ergebnisse komme?
Ich glaube allerdings meine Probleme fangen schon bei den Umformungen an....;-((
Danke schonmal im voraus!
Y.
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:03 Do 09.09.2004 | | Autor: | b-tux |
Hallo
Faktorzerlegungen führt man meistens durch um Nullstellen zu finden, d.h. in diesem Fall Zahlen $z$ zu finden, für die $ [mm] 49z^2-35z+6=0 [/mm] $ gilt. Es ist nun einfacher solche Zahlen zu finden, wenn man den Term in Faktoren zerlegt hat, weil der ganze Ausdruck ja null wird, wenn ein Faktor null wird. Man schaut sich dann jeden Faktor einzeln an und sucht wann dieser null wird. In unserem Beispiel: $(7z-2)=0$ für [mm] $z=\frac{2}{7}$ [/mm] und $(7z-3)=0$ für [mm] $z=\frac{3}{7}$
[/mm]
Wie wird aber diese Faktorisierung nun durchgeführt? Für Polynome (das sind Ausdrücke der Form [mm] $a_0 +a_1x+a_nx^2+...+a_nx^n, \quad a_i\in \IR$ [/mm] (oder $ [mm] \IC$ [/mm] oder einem Körper $K$)) vom Grad [mm] $\le [/mm] 4$ gibt es eindeutige Lösungsformeln (der Grad ist die grösste auftretende Potenz). Für $n=2$ (also das Polynom [mm] $ax^2+bx+c=0$ [/mm] lautet diese folgendermassen:
[mm] $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ [/mm] und damit [mm] $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$
[/mm]
Bei Polynomen grösseren Grades ist man meistens auf numerische Methoden angewiesen (oder probieren).
Ausserdem gelten noch folgende Dinge für ein Polynom vom Grad $n$:
- Ein Polynom hat höchstens $n$ Nullstellen
- In $ [mm] \IC$ [/mm] hat ein Polynom genau $n$ Nullstellen (in [mm] $\IR$ [/mm] nicht immer)
Es gibt noch viel mehr Dinge, die man über Polynome erzählen könnte, aber ich glaub das würde jetzt zu weit gehen.
Ich hoffe das ganze war verständlich.
Gruss
b-tux
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Fr 10.09.2004 | | Autor: | y.zambas |
Hallo,
danke erstmal für die Antwort.
Kannst Du mir vielleicht noch sagen, wie ich von (7z-2)=0 [mm] =\bruch{2}{7} [/mm]
und (7z-3)=0 nach [mm] =\bruch{3}{7} [/mm] komme?
Ich habe ja schon gesagt, dass meine Probleme ziemlich früh anfangen...
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Fr 10.09.2004 | | Autor: | Josef |
Hallo v.zambas,
7z-2=0
auf beiden Seiten 2 addieren:
7z-2+2=0+2
zusammenfassen:
7z = 2
beide Seiten durch 7 dividieren:
7z:7 = 2:7
[mm]\bruch{7}{7}[/mm]z = [mm]\bruch{2}{7}[/mm]
kürzen:
z = [mm]\bruch{2}{7}[/mm]
Faktorisieren ist zum Beispiel sinnvoll bei:
Um zwei normale Zahlenbrüche (nur Ziffern, keine Buchstaben) zu addieren oder zu subtrahieren, muss meistens vorher mit Hilfe der Primfafktorzerlegung Hauptnenner ermittelt werden.
Um den Hauptnenner mehrerer Bruchterme zu ermitteln, müssen die einzelnen Nenner mittels Termumformung in möglichst kleine Faktoren zerlegt werden.
Das Ziel ist es, den Nenner zu faktorisieren. Egal wie. Es muss also nicht direkt nach Linearfaktoren gesucht werden, diese ergeben sich automatisch, wenn man die Nullstellen des Nenners bestimmt.
Vor der Lösung einer Gleichung müssen zur Bestimmung ihrer Definitionsmenge bereits die Nullstellen der einzelnen Nenner ermittelt werden.
Ein Term ist eine sinnvoll verknüpfte mathematische Zeichenreihe, kann aber auch eine einzelne Zahl oder Variable (PLatzhalter, oft als x oder y oder als kleiner römischer oder griechischer Buchstabe angegegen) sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:32 Fr 10.09.2004 | | Autor: | y.zambas |
Vielen Dank!
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