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[mm] \bruch{(k)!}{k^k} [/mm]
In einem Buch soll mittels Quotientenkriterium ermittelt werden wie sich diese Reihe verhält.
[mm] \bruch{(k+1)!}{(k+1)^k+1}*\bruch{k^k}{k!}=(\bruch{k}{k+1})^k=\bruch{1}{(1+\bruch{1}{k})}^k
[/mm]
nun ist meine Frage wie der Author auf [mm] =(\bruch{k}{k+1})^k [/mm] kommt nach der Multiplikation. Ich komm einfach nicht klar welche Termumformung oder Rechenregel dahinter steckt.
Danke
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Hallo nieselfriem,
> [mm]\bruch{(k)!}{k^k}[/mm]
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> In einem Buch soll mittels Quotientenkriterium ermittelt
> werden wie sich diese Reihe verhält.
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> [mm]\bruch{(k+1)!}{(k+1)^k+1}*\bruch{k^k}{k!}=(\bruch{k}{k+1})^k=\bruch{1}{(1+\bruch{1}{k})}^k[/mm]
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> nun ist meine Frage wie der Author auf [mm]=(\bruch{k}{k+1})^k[/mm]
> kommt nach der Multiplikation. Ich komm einfach nicht klar
> welche Termumformung oder Rechenregel dahinter steckt.
[mm]
\begin{gathered}
\frac{{\left( {k + 1} \right)!}}
{{\left( {k + 1} \right)^{k + 1} }}\;\frac{{k^k }}
{{k!}}\; = \;\frac{{\left( {k + 1} \right)!}}
{{k!}}\;\frac{{k^k }}
{{\left( {k + 1} \right)^{k + 1} }}\; \hfill \\
= \;\left( {k + 1} \right)\frac{{k^k }}
{{\left( {k + 1} \right)^{k + 1} }}\; = \;\frac{{k^k }}
{{\left( {k + 1} \right)^k }}\; = \;\frac{1}
{{\left( {1\; + \;\frac{1}
{k}} \right)^k }} \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Gruß
MathePower
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