Fallschirmspringeraufgabe < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:59 Mo 23.09.2013 | | Autor: | starki |
| Aufgabe | Chris, einem Fallschirmspringer, steht als Landegebiet für seine Trainingssprünge eine rechteckige Wiese von 100m x 50m Länge zur Verfügung (siehe Skizze / Anhang; Angaben in 100m).
a) Wenn es windstill ist, landet Chris mit gleicher Wahrscheinlichkeit in gleichgroßen Teilstücken der Wiese. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Chris an einem windstillen Tag einen Trainingssprung im Dreieck A mit den Eckpunkten (0,0) (0, 0.5) und (0.2, 0.5) landet.
b) Es kommt Wind auf, und Chris wird in nordöstliche Richtung abgetrieben. Die Dichte, mit welcher Wahrscheinlichkeit er jetzt in Teilgebieten der Wiese landet, sei nun gegeben durch f(x,y) dxdy mit
f(x,y) = [mm] \begin{cases} c * x * y, & \mbox{für} 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 0.5 \\ 0 sonst \end{cases}
[/mm]
Berechnen Sie zunächst die Konstante c. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Chris im Dreieck A mit den Endpunkten (0,0), (0, 0.5) und (0.2, 0.5) landet
c) Berechnen Sie die Marginalverteilung für die gemeinsame Dichte f(x,y) aus Teil b) Sind die Zufallsvariablen X und Y, die die Koordinaten des Landepunktes beschreiben, in diesem Fall unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort. |
a) Also ich habe leider recht wenig Ahnung, wie ich an diese Aufgabe gehen könnte, deshalb habe ich mir einfach gedacht, mach ich das ein bisschen logisch. Also Chris kommt irgendwann auf den Boden. D.h. irgendwo = Wahrscheinlichkeit von 1.
Da wir eine Gleichverteilung von den Teilstücken haben, dann haben wir ja eine Wahrscheinlichkeit von [mm] \frac{1}{n} [/mm] bei n Teilstücken. Wären es fünf (mit je 20m Abstand), dann wäre das eine Wahrscheinlichkeit von 0.2
Das Dreieck nimmt die Hälfte von dem ersten Teilstück ein, also könnte ich glatt sagen, mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% landet er dort.
Aber ich befüruchte, dass das nicht unbedingt der richtige Weg ist ... über einen Ansatz würde ich mich freuen.
b) Wenn ich mich recht entsinne (das mit den Integralen ist schon etwas länger her...) muss ich hier zwei-fache Integrale nehmen.
Sprich:
[mm] \integral_{x=0}^{1}{\integral_{y=0}^{0.5}{c * x * y}} [/mm] = 1 [da ja die Gesamtfläche unter dem Integral gleich eins sein soll]
Zuerst das innere Integral:
x * [mm] \integral_{y=0}^{0.5}{c * y} [/mm] =>
c * [mm] \frac{1}{2} [/mm] * [mm] 0.5^2 [/mm] - c * [mm] \frac{1}{2} [/mm] * [mm] 0^2 [/mm] = c * [mm] \frac{1}{2} [/mm] * [mm] 0.5^2
[/mm]
Nun das äußere Integral:
[mm] \integral_{x=0}^{1}{\frac{1}{8} * c * x} [/mm] = 1 =>
[mm] \frac{1}{16} [/mm] * c * [mm] 1^2 [/mm] - [mm] \frac{1}{16} [/mm] * c * [mm] 0^2 [/mm] =>
1 = [mm] \frac{1}{16} [/mm] * c => c = 16
D.h. ich habe ja jetzt eine Funktion
F(x,y) = [mm] \frac{1}{16} [/mm] * c * [mm] x^2 [/mm] * [mm] y^2
[/mm]
Wie berechne ich jetzt die Wahrscheinlichkeit?
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> Chris, einem Fallschirmspringer, steht als Landegebiet für
> seine Trainingssprünge eine rechteckige Wiese von 100m x
> 50m Länge zur Verfügung (siehe Skizze / Anhang; Angaben
> in 100m).
>
> a) Wenn es windstill ist, landet Chris mit gleicher
> Wahrscheinlichkeit in gleichgroßen Teilstücken der Wiese.
> Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Chris an
> einem windstillen Tag einen Trainingssprung im Dreieck A
> mit den Eckpunkten (0,0) (0, 0.5) und (0.2, 0.5) landet.
>
> b) Es kommt Wind auf, und Chris wird in nordöstliche
> Richtung abgetrieben. Die Dichte, mit welcher
> Wahrscheinlichkeit er jetzt in Teilgebieten der Wiese
> landet, sei nun gegeben durch f(x,y) dxdy mit
>
> f(x,y) = [mm]\begin{cases} c * x * y, & \mbox{für} 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 0.5 \\ 0 sonst \end{cases}[/mm]
>
> Berechnen Sie zunächst die Konstante c.
Anstatt von absoluten Wahrscheinlichkeiten zu sprechen,
in gewissen Teilstücken der Wiese zu landen, wäre es
wohl etwas angemessener, bescheidener und vor allem
auch realistischer, von bedingten Wahrscheinlichkeiten
zu sprechen, nämlich:
P(Landung in Teilstück A | Landung innerhalb Wiese)
An den Rechnungen an sich ändert dies nichts ...
LG , Al-Chw.
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Guten Morgen !
> Chris, einem Fallschirmspringer, steht als Landegebiet für
> seine Trainingssprünge eine rechteckige Wiese von 100m x
> 50m Länge zur Verfügung (siehe Skizze / Anhang; Angaben
> in 100m).
>
> a) Wenn es windstill ist, landet Chris mit gleicher
> Wahrscheinlichkeit in gleichgroßen Teilstücken der Wiese.
> Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Chris an
> einem windstillen Tag einen Trainingssprung im Dreieck A
> mit den Eckpunkten (0,0) (0, 0.5) und (0.2, 0.5) landet.
>
> b) Es kommt Wind auf, und Chris wird in nordöstliche
> Richtung abgetrieben. Die Dichte, mit welcher
> Wahrscheinlichkeit er jetzt in Teilgebieten der Wiese
> landet, sei nun gegeben durch f(x,y) dxdy mit
>
> f(x,y) = [mm]\begin{cases} c * x * y\ , & \mbox{ für}\ \ 0 <= x <= 1,\ \ 0 <= y <= 0.5 \\ 0\quad sonst \end{cases}[/mm]
>
> Berechnen Sie zunächst die Konstante c. Wie groß ist nun
> die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Chris im Dreieck A mit
> den Endpunkten (0,0), (0, 0.5) und (0.2, 0.5) landet
>
> c) Berechnen Sie die Marginalverteilung für die gemeinsame
> Dichte f(x,y) aus Teil b) Sind die Zufallsvariablen X und
> Y, die die Koordinaten des Landepunktes beschreiben, in
> diesem Fall unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort.
> a) Also ich habe leider recht wenig Ahnung, wie ich an
> diese Aufgabe gehen könnte, deshalb habe ich mir einfach
> gedacht, mach ich das ein bisschen logisch. Also Chris
> kommt irgendwann auf den Boden. D.h. irgendwo =
> Wahrscheinlichkeit von 1.
(Dies entspricht genau dem, was ich in meiner Bemerkung
erwähnt habe: es handelt sich um bedingte Wahrscheinlichkeiten
für den Fall, dass die Landung überhaupt in dem ausge-
steckten Rechteck erfolgt. Grundsätzlich darf man ja
wohl den Fall nicht ausschließen, dass die Landung
auch mal daneben geht, insbesondere bei Wind)
> Da wir eine Gleichverteilung von den Teilstücken haben,
> dann haben wir ja eine Wahrscheinlichkeit von [mm]\frac{1}{n}[/mm]
> bei n Teilstücken. Wären es fünf (mit je 20m Abstand),
> dann wäre das eine Wahrscheinlichkeit von 0.2
>
> Das Dreieck nimmt die Hälfte von dem ersten Teilstück
> ein, also könnte ich glatt sagen, mit einer
> Wahrscheinlichkeit von 10% landet er dort. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Aber ich befürchte, dass das nicht unbedingt der richtige
> Weg ist ... über einen Ansatz würde ich mich freuen.
Na, das ist schon richtig, denn genau dies ist mit
Gleichverteilung über einer Fläche gemeint.
> b) Wenn ich mich recht entsinne (das mit den Integralen ist
> schon etwas länger her...) muss ich hier zwei-fache
> Integrale nehmen.
>
> Sprich:
> [mm]\integral_{x=0}^{1}{\integral_{y=0}^{0.5}{c * x * y}}[/mm] = 1
> [da ja die Gesamtfläche ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") unter dem Integral gleich eins
> sein soll]
Eigentlich jetzt nicht Gesamt-Fläche, sondern Gesamt-
Wahrscheinlichkeit !
> Zuerst das innere Integral:
>
> x * [mm]\integral_{y=0}^{0.5}{c * y}[/mm] =>
>
> c * [mm]\frac{1}{2}[/mm] * [mm]0.5^2[/mm] - c * [mm]\frac{1}{2}[/mm] * [mm]0^2[/mm] = c *
> [mm]\frac{1}{2}[/mm] * [mm]0.5^2[/mm]
>
> Nun das äußere Integral:
> [mm]\integral_{x=0}^{1}{\frac{1}{8} * c * x}[/mm] = 1 =>
Es wäre um der Klarheit willen wichtig, bei diesen
Integralen auch die Differentiale (dy und dx) wirklich
hinzuschreiben ! Es handelt sich dabei nämlich nicht
um überflüssige Floskeln, wie viele meinen !
> [mm]\frac{1}{16}[/mm] * c * [mm]1^2[/mm] - [mm]\frac{1}{16}[/mm] * c * [mm]0^2[/mm] =>
>
> 1 = [mm]\frac{1}{16}[/mm] * c => c = 16
>
> D.h. ich habe ja jetzt eine Funktion
>
> F(x,y) = [mm]\frac{1}{16}[/mm] * c * [mm]x^2[/mm] * [mm]y^2[/mm]
Benütze hier kein großes "F" (nur weil du gerade
etwas integriert hast ...), sondern wie von Anfang
an bezeichnet das kleine "f" !
>
> Wie berechne ich jetzt die Wahrscheinlichkeit?
Jetzt muss diese Wahrscheinlichkeitsdichte f(x,y)
über das Teildreieck A integriert werden.
Du brauchst also ein Doppelintegral mit dem
gleichen Integranden wie gerade eben, dessen
Integrationsgrenzen aber so festgelegt sind,
dass die überdeckte "gescannte" Fläche gerade
dem Dreiecksgebiet A entspricht.
Dies erreichst du zum Beispiel so: Das Dreieck A
enthält nur Punkte P(x,y) mit [mm] 0\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 0.2
Es genügt also, für das äußere Integral x-Werte
von 0 bis 0.2 zu berücksichtigen.
Für jeden in diesem Intervall liegenden x-Wert
soll y nicht unbedingt das ganze y-Intervall von
0 bis 0.5 durchlaufen, sondern nur genau jene
y-Werte, die tatsächlich zu Punkten im Dreieck A
gehören. Man sieht natürlich sofort, dass der
obere y-Wert immer gleich 0.5 ist (oberer Rand);
der Startwert für das Scannen in y-Richtung ist
aber abhängig vom gerade gewählten x-Wert.
Die untere Grenze des inneren Integrals (für
die Integration nach y) ist also als eine geeignete
Funktion von x zu schreiben.
Übrigens: anstatt inneres Integral nach y und
äußeres Integral nach x könnte man es auch
umgekehrt machen. Für diesen Fall müsste
man sich aber die jeweiligen Integrationsgrenzen
ganz neu zurechtlegen.
Im vorliegenden Beispiel ist es wohl gehupft wie
gesprungen, ob man die eine oder die andere
Reihenfolge wählt. In anderen Fällen (mit anderen
Integranden) kann aber durchaus die eine Art
wesentlich geschickter und einfacher sein als
die andere. Dies kann so weit gehen, dass die
eine Möglichkeit praktisch ein Kinderspiel, die
andere aber mit elementaren Mitteln unmöglich
ist.
LG , Al-Chwarizmi
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