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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Di 26.10.2004 | | Autor: | Maya |
Wer kann mir helfen, ich habe keine Ahnung wie man sowas rechnet:
[mm] 1/(1+x^2)< [/mm] 0,5
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Di 26.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Maya,
> Wer kann mir helfen, ich habe keine Ahnung wie man sowas
> rechnet:
> [mm]1/(1+x^2)<[/mm] 0,5
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Zunächst einmal ist ja offenbar [mm] $(1+x^2) [/mm] >0$ für alle $x [mm] \in \IR$, [/mm] deswegen gilt:
[mm] $(\star)$ $\frac{1}{1+x^2}<0,5$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
$1<0,5+0,5x²$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$2<1+x²$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$x²-1>0$
Wegen der dritten bin. Formel gilt:
[mm] $\gdw$
[/mm]
$(x+1)(x-1)>0$.
Fazit:
[mm] $(\star)$ $\frac{1}{1+x^2}<0,5$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
$(x+1)(x-1)>0$
Nun hast du ein Produkt mit zwei Faktoren, dass Produkt ist genau dann größer Null, wenn entweder jeder der Faktoren $>0$ ist
oder
wenn jeder der Faktoren $<0$ ist.
Die Ungleichung [mm] $(\star)$ [/mm] gilt also genau dann, wenn einer der folgenden zwei Fälle erfüllt ist:
1.Fall:
$(x+1)>0$ und $(x-1)>0$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$x>-1$ und $x>1$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$x>1$.
2.Fall:
$(x+1)<0$ und $(x-1)<0$
$x<-1$ und $x<1$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$x<-1$.
Mit anderen Worten:
Die Ungleichung [mm] $(\star)$ [/mm] gilt für alle [mm]x \in ]-\infty;-1[ \; \cup \; ]1;\infty[=\{ r \in \IR: r<-1 \,\, \mbox{oder} \,\, r>1\}[/mm].
Oder einfach nochmal in Worten:
Die Ungleichung [mm] $(\star)$ [/mm] gilt genau dann, wenn entweder $x>1$ oder $x<-1$ ist.
Liebe Grüße,
Marcel
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