Falsche Formel? < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Vermute und beweise einen Satz mit der vollständigen Induktion über die Summe [mm] x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{2n-3}+x_{2n-1} [/mm] |
Hallo,
ich komme mit dieser Aufgabe einfach nicht weiter, und hoffe etwas Unterstützung bei der Lösung zu finden.
Meine Idee soweit:
Ich formuliere eine Summenforel, die von 1 bis [mm] x_{2n-1} [/mm] läuft.
Es gilt also
[mm] \summe_{i=1}^{n} x_{2n-1}.
[/mm]
Dann müsste aufgrund der "Schritte"
[mm] \summe_{i=1}^{n} x_{2n-1}= x_{2n}.
[/mm]
Liege ich soweit richtig?
Nun zum Beweis.Hier beginnen dann auch meine Probleme-
Ich behaupte mal ich muss mit einer starken vollständigen Induktion argumentieren.
Ich bilde den Induktionsanfang:
n=1;n=2
[mm] \summe_{i=1}^{1} x_{2\*1-1} [/mm] = [mm] x_{1} [/mm] = 1.
[mm] \summe_{i=1}^{1} x_{2\*2-1} [/mm] = [mm] x_{3} [/mm] = 2.
Somit sind diese wahr.
Beim Induktionsschritt komme aber auf kein grünes Blatt.
Ich nehme
[mm] \summe_{i=1}^{k-1} x_{2(k-1)-1} [/mm] = [mm] x_{2k-3} [/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{k} x_{2k-1} [/mm]
Als wahr an.
Dann formuliere ich
n=k+1
[mm] \summe_{i=1}^{k+1} x_{2\*(k+1)-1} [/mm]
Nun würde ich folgendes versuchen
[mm] x_{2\*(k+1)-1} [/mm] = [mm] x_{2(k+1)-3} [/mm] + [mm] x_{2(k+1)-1}
[/mm]
Damit komme ich aber einfach nicht weiter (ich erspare euch/mir meine diversen Umformungsversuchewiederzugeben).
Entweder mache ich einen Umformungsfehler, oder ich liege generell mit meiner Formelannahme falsch.
Ich danke jedem Helfer im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:48 Di 07.07.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
ist was du geschrieben hast wirklich die Aufgabe? Was weiss man denn ueber die [mm] x_i?
[/mm]
Dann müsste aufgrund der "Schritte" was ist denn mit den Schritten gemeint? und wie kommst du auf diese Formel
$ [mm] \summe_{i=1}^{n} x_{2n-1}= x_{2n}. [/mm] $ hier summierst du nur ueber ungerade i und der Summationsindex und die obere Grenze sind n?
also bitte die Orginalaufgabe.
Gruss leduart
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Hallo,
danke für deine Antwort.
einleitend heist es im Orginal:
Es seien [mm] x_{1}=1,x_{2}=1 [/mm] und [mm] x_{n}= x_{n-1}+x_{n-2} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 3.
Das entspircht den Fibonaccizahlen.
Dann folgt die genannte Aufgabe:
Vermute und beweise einen Satz mit der vollständigen Induktion über die Summe $ [mm] x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{2n-3}+x_{2n-1} [/mm] $.
Das ist dann aber auch alles, was man zu dieser Aufgabe genannt bekommt.
Die Schritte habe ich mir so vorgestell:
Anscheinend geht es bei der aufgabe um ungerade Zahlen. dh. ich muss eine geforderte ungerade zahl (dank Fibonacci) dadurch ereichen können, dass ich die vorhergehende gerade mit der nächsten vorhergehenden ungeraden addiere ( [mm] x_{n-1}+x_{n-2}).
[/mm]
Also habe ich erstmal versucht eine Summenformel für die Addition aller ungeraden Zahlen von 1 bis n zu finden.
Da ich mich nur hobbymäßig mit Mathe beschäftige und wir an der Schule nie soweit in das Thema eingedrungen sind habe ich da so meine lieben Probleme.
Entschuldige, wenn ich mich schwerverständlich ausgedrückt habe
Grüße und Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Di 07.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> danke für deine Antwort.
> einleitend heist es im Orginal:
> Es seien [mm]x_{1}=1,x_{2}=1[/mm] und [mm]x_{n}= x_{n-1}+x_{n-2}[/mm] für n
> [mm]\ge[/mm] 3.
> Das entspircht den Fibonaccizahlen.
>
> Dann folgt die genannte Aufgabe:
> Vermute und beweise einen Satz mit der vollständigen
> Induktion über die Summe
> [mm]x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{2n-3}+x_{2n-1} [/mm].
Bist Du sicher ? Lautet das nicht so:
[mm] x_{1}+x_{3}+x_{5}+...+x_{2n-3}+x_{2n-1}
[/mm]
also nur ungerade Indices ?
>
> Das ist dann aber auch alles, was man zu dieser Aufgabe
> genannt bekommt.
>
> Die Schritte habe ich mir so vorgestell:
> Anscheinend geht es bei der aufgabe um ungerade Zahlen.
Hä ?
> dh. ich muss eine geforderte ungerade zahl
Was soll das sein ?
> (dank Fibonacci)
> dadurch ereichen können, dass ich die vorhergehende gerade
> mit der nächsten vorhergehenden ungeraden addiere (
> [mm]x_{n-1}+x_{n-2}).[/mm]
>
> Also habe ich erstmal versucht eine Summenformel für die
> Addition aller ungeraden Zahlen von 1 bis n zu finden.
Das ist völlig daneben !
>
> Da ich mich nur hobbymäßig mit Mathe beschäftige und wir
> an der Schule nie soweit in das Thema eingedrungen sind
> habe ich da so meine lieben Probleme.
>
> Entschuldige, wenn ich mich schwerverständlich
> ausgedrückt habe
> Grüße und Dank
Du sollst folgendes tun: sei [mm] s_n:=$ x_{1}+x_{3}+x_{5}+...+x_{2n-3}+x_{2n-1} [/mm] $, wobei
$ [mm] x_{1}=1,x_{2}=1 [/mm] $ und $ [mm] x_{n}= x_{n-1}+x_{n-2} [/mm] $ für n $ [mm] \ge [/mm] $ 3.
Nun berechne Du mal [mm] s_1, s_2, s_3,..
[/mm]
Dann solltest Du eine Vermutung für eine geschlossene Formel für [mm] s_n [/mm] bekommen.
Zur Kontrolle: [mm] s_n=x_{2n}
[/mm]
Dann beweise diese Formel induktiv.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:01 Mi 08.07.2015 | | Autor: | Windbeutel |
Danke für deine Hinweise, ich dank deren ich die Aufgabe Lösen konnte.
Leider fehlt es mir oft noch an Fachausdrücken, um mich hier eindeutig ausdrücken zu können.
Du hattest natürlich recht ich habe
$ [mm] x_{1}+x_{3}+x_{5}+...+x_{2n-3}+x_{2n-1} [/mm] $ gemeint, und mich da verschrieben.
Vielen Dank nochmal
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