Faltung < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Mi 06.01.2010 | | Autor: | yildi |
Hallo!
Sitze grade an einer Aufgabe, in der ich die Sprungantwort [mm] $h_{\varepsilon}(t)$ [/mm] eines LTI-Systems berechnen soll, wobei ich als Eingangssignal eine Sprungfunktion [mm] $\varepsilon(t)$ [/mm] habe und auch die charakteristische Impulsantwort des Systems $h(t)$ gegeben habe. Sie lautet $h(t) = -t+1$ und ist definiert im Bereich $0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 2$. Die Sprungfunktion ist für $t < 0 = 0$ und für $t > 0 = 1$.
Also habe ich die Sprungfunktion mit der Impulsantwort des Systems gefaltet (siehe unten), habe auch ein Ergebnis bekommen, doch weiss nicht ob das richtig ist. Zur kontrolle wollte ich dann andersherum falten (da die Faltung ja kommutativ ist), doch da bin ich dann gar nicht mehr weitergekommen, weil ich nicht weiss welche Grenzen ich einsetzten soll...
Ich wäre euch sehr dankbar, wenn Ihr einmal über meine Rechnung rüberschauen könntet. Vielen Dank!! :)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Mi 06.01.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo yildi,
beim Ausrechnen des Faltungsintegrals hast Du nicht berücksichtigt, dass Du [mm] t [/mm] durch [mm] - \tau [/mm] ersetzt, und damit diese "Sägezahnspannung" (es ist nur ein Zahn da  ) an der y-Achse spiegelst. Wenn Du diese Funktion dann unter dem Einheitsimpuls durchschiebst, erkennst Du sehr schnell dass die untere Integrationsgrenze 0 ist, die obere t.
Das Integral lautet also für den ersten Fall
$$ [mm] \int_0^t [/mm] (-t + [mm] \tau [/mm] +1) [mm] \, [/mm] d [mm] \tau [/mm] = [mm] \bruch{-t^2}{2} [/mm] + t $$
Bei Deiner Gegenrechnung lässt Du den "Sägezahn" an Ort und Stelle und kippst den Einheitssprung nach links. Auch hier ergeben sich wieder die Grenzen 0 und t für das Integral.
$$ [mm] \int_0^t (-\tau [/mm] +1) [mm] \, [/mm] d [mm] \tau [/mm] = [mm] \bruch{-t^2}{2} [/mm] + t $$
Du siehst, es kommt auf beiden wegen das gleiche Ergebnis raus. Für Werte t größer als 2 bleibt das Integral auf dem Wert für t = 2 stehen und das ist der Nullwert.
Ein Tipp von einem alten E-Techniker: Beide Funktionen untereinander aufmalen, eine davon gespiegelt und dann schauen, was passiert, wenn man die eine Funktion unter der anderen durchschiebt.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Mi 06.01.2010 | | Autor: | yildi |
Ah ok vielen Dank!! Kann man allgemein denn sagen, dass die untere Grenze immer 0 sein muss, da es sich ja um kausale Systeme handelt ? Und vielleicht sogar dass die obere Grenze immer t sein muss? Oder Ist das bei diesem Beispiel Zufall, dass in beiden Fällen die obere Grenze t lauten muss ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Mi 06.01.2010 | | Autor: | Infinit |
Allgemein kann man leider die Grenzen nicht so schlussfolgern wie Du es gerne machen würdest. Es hängt vom Funktionenverlauf ab und deswegen rate ich ja dazu, sich diese Funktionen mal hinzuzeichnen. Denke als Beispiel an eine zeitverzögerte Funktion, die zum Beispiel erst bei t = 5 beginnt. Sicherlich immer noch kausal, aber wenn Du sie spiegelst an der y-Achse ist der Bereich zwischen der -5 und der 0 identisch Null. Hier würde sich also erst was ab t = 5 tun.
Die obere Grenze hängt davon ab, ob wenigstens eine der Funktionen für große Zeiten wieder auf 0 zurückgeht oder nicht. Sind beide Funktionen zeitbegrenzt, so hängt es von der Einzeldauer der Signale ab, bis das eine Signal komplett unter dem anderen durchgeschoben wurde. Die Impulsantwort ist natürlich eine Funktion der Zeit, es hängt aber vom Aussehen der Funktionen ab, ob diese Impulsantwort den Zeitparameter noch beinhaltet oder ab einem bestimmten Wert eine Konstante liefert. In Deinem Beispiel war das ja auch so, ab t = 2 ist die Impulsantwort identisch 0.
Es gibt hier kein Allgemeinrezept und das macht die Aufgaben ja gerade so knifflig.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Mi 06.01.2010 | | Autor: | yildi |
Ich habe das nun zwar verstanden, dass man eine der beiden Funktionen spiegelt und dann von links nach rechts unter der anderen durchschiebt. Habe mir das mit diesem Applet nochmal verdeutlicht: http://www.nt.e-technik.uni-erlangen.de/~rabe/SYSTOOL/SYSTOOL2.03/conv.htm
Wie man die untere Grenze wählt ist mir nun auch klar. Allerdings verstehe ich einfach nicht wieso die obere Grenze ausgerechnet t lauten muss. Das muss ja damit was zu tun haben, zu welchem Zeitpunkt die gespiegelte Funktion unter der anderen komplett durchgeschoben ist...
Habe nun als nächstes Rechenbeispiel quasi die gleiche Aufgabe, nur dass die Sprungfunktion von oben nun durch einen Rechteckimpuls der Höhe 1 und der Breite 1 ersetzt wurde. Auch dieser beginnt bei t=0 und geht dann bis t=1. Die untere Grenze muss also auch wieder 0 lauten. Doch bei der oberen Grenze kann ich nur raten, und das ist schlecht ;) Bin echt am verzweifeln :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 Mi 06.01.2010 | | Autor: | Infinit |
Die obere Grenze t ist einfach ein frei gewählter Zeitpunkt innerhalb eines bestimmten Zeitintervalls, das durch die Form der beiden Funktionen bestimmt ist. Du kannst hierfür natürlich auch feste Werte einsetzen, um die Impulsantwort zu einem bestimmten Zeitpunkt zu berechnen. Da wir es aber bei diesen Aufgaben fast immer mit stetigen (Teil)Funktionen zu tun haben, ist es einfacher, diesen Punkt mit t zu bezeichnen. Denke daran, dass die Integrationsvariable [mm] \tau [/mm] ist, du integrierst also bis zum Zeitpunkt [mm] \tau = t [/mm].
Vielleicht wird die Sache am Rechteck deutlicher, das Du erwähnt hast. Dessen Höhe ist 1 und ich nehme mal an, es geht, [mm] t [/mm] bereits durch [mm] \tau [/mm] ersetzt, von tau = 0 bis tau = 1.
Dieses Signal gespiegelt an der y - Achse ergibt das Signal [mm] s(\tau) [/mm] für t = 0. Jetzt beginnen wir damit, dieses Rechteck unter dem Sägezahn durchzuschieben.
Hier muss man jetzt aufpassen, da beide Signale nun unterschiedlich lang sind. User "Sägezahn" hat immer noch eine Länge von 2, das Rechteck eine Länge von 1. Die untere Grenze ist wieder 0, zumindest zunächst, die obere kannst Du wieder mit t bezeichnen. Die obere Grenze für dieses Integral liegt bei maximal t=1, denn dann liegt das Rechteck voll unter dem Sägezahn.
Das lässt sich so schreiben:
$$ h(t) = [mm] \int_0^t 1\cdot (-\tau [/mm] +1) [mm] \, d\tau \, {\em fuer }\, [/mm] 0 [mm] \leq [/mm] t < 1 $$
Das ist der erste Teil der Impulsantwort. Jetzt schieben wir das Rechteck weiter und dies bleibt solange unterhalb des Sägezahns bis t = 2 erreicht ist.
Dieser Bereich lässt sich so schreiben:
$$ h(t) = [mm] \int_{t-1}^t 1\cdot (-\tau [/mm] +1) [mm] \, d\tau \, {\em fuer }\, [/mm] 1 [mm] \leq [/mm] t < 2 $$
Ab da beginnt das Rechteck aus dem Sägezahn herauszuwandern und das hört bei t = 3 auf, denn dann überlappen sich beide Signale nicht mehr. Die obere Grenze wird nun durch den Sägezahn bestimmt, denn der hört bei 2 auf. Also ergibt sich für den dritten Teil des Faltungsintegrals:
$$ h(t) = [mm] \int_{t-1}^2 1\cdot (-\tau [/mm] +1) [mm] \, d\tau \, {\em fuer }\, [/mm] 2 [mm] \leq [/mm] t < 3 $$
Für Werte größer t = 3 überlappt sich nichts mehr, also ist
$$ h(t) = 0 [mm] \, {\em fuer }\, [/mm] t [mm] \geq [/mm] 3 $$
Male Dir die Signale auf und versuche mal, das nachzuvollziehen. Ohne Zeichnung kommt man da leicht ins Straucheln, wie ich selbst als Student mehrmals erfahren musste. Der Integrand bleibt immer gleich, aber die Grenzen ändern sich.
Viel Erfolg,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:22 Do 07.01.2010 | | Autor: | yildi |
Ja genau cool danke :) Hatte mich gestern noch fast den ganzen Rest des Tages mit der Aufgabe beschäftigt... :P zuerst waren die Grenzen, die du geschrieben hattest nicht ganz richtig... aber bin sogar noch selbst auf die richtigen gekommen. Ich glaube der es hat in meinem Kopf nun Klick gemacht :P Dummerweise kam ich bei der nächsten Aufgabe nun schon wieder nicht weiter.. aber das ist ein anderer Thread.. ;)
Vielen Dank für die Hilfe!!! :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Do 07.01.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
ich habe die drei Faltungsbreiche mal skizziert, damit die Integralgrenzen besser sichtbar werden.
Viele Grüße,
Infinit
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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