Faltung < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Mi 14.07.2010 | | Autor: | Jero |
Hallo!
Ich möchte folgendes Problem lösen, weiß aber leider gar nicht, wie ich es angehen könnte:
y(t) = heaviside(t-3) * t
* ist der Faltungsoperator
Muss ich hier laplace transformieren (ich meine wegen der Faltung), um zu einer Lösung kommen zu können? Ich kenn mich leider mit Laplace nicht wirklich sonderlich gut aus.
laplace(heaviside(t-3))*laplace(t) dann bekomme ich doch die Bildfunktionen oder? Und wie komme ich dann zur Lösung im Laplace Bereich? (ich meine wegen der Faltung). Dass ich rücktransformieren muss, weiß ich. Danke für jede Hilfe!!
Lg
Jero
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 Mi 14.07.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo jero,
willkommen hier bei der Vorhilfe.
Bei so einer einfachen Funktion langt es, das Faltungsintegral zu lösen. Eine Funktion an der Y-Achse spiegeln, unter der zweiten durchschieben und dann das Faltungsintegral bestimmen für diejenigen Bereiche, in denen beide Funktionen von 0 verschieden sind.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:12 Do 15.07.2010 | | Autor: | Jero |
Hallo!
Zunächst mal danke für die Antwort! Also wie das mit dem Faltungsintegral läuft, weiß ich leider noch nicht ganz.
Ich habe aber mal folgendes gemacht, um das Beispiel zu lösen:
Angabe war: y(t) = heaviside(t-3) * t
Transfoamation und Multiplication:
L = laplace(heaviside(t-3)) * laplace(t)
Rücktransformation:
y(t) = ilaplace(L)
Sollte doch passen, oder gibts dagegen Einwände?
Zur Lösung mittels Integral:
f*g = [mm] \integral_{0}^{t}{f(y)g(t-y) dy}
[/mm]
So, ich nehme also an, dass t aus der Angabe meine Funktion f(y) und
heaviside(t-3) meine Funktion g(t-3) ist? Aber sollte da nicht statt t ein y stehen? Also: f(y) = y und g(t-y) (anstatt hier g(t-3)).
Ich erhalte ja sonst: f*g = [mm] \integral_{0}^{t}{ t * heaviside(t-3) dy}
[/mm]
D.h. ich könnte mir ja das Integrieren sparen und es würde gar nichts passieren. Was ist allerdings nicht verstehe, ist nach welchem Kriterium/Regel ich t gegen y austauschen darf/muss.
Danke auf jeden Fall!!
Lg
Jero
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:28 Do 15.07.2010 | | Autor: | Jero |
Ok, ich weiß zwar nicht warum, aber anscheinend muss ich das so einsetzen:
[mm] \integral_{0}^{t}{ y \cdot{} heaviside(y-3) dy}
[/mm]
wobei ich mir bei Heaviside nicht wirklich sicher bin. Kann es auch heißen
heaviside(t-y) oder heaviside(t-y-3). Ich meine weil ja die Regel lautet:
[mm] \integral_{0}^{t}{f(y)g(t-y) dy}
[/mm]
Wenn ich hier einfach immer t gegen y ersetze, dann würde ja da stehen:
[mm] \integral_{0}^{t}{y * heaviside(t-y-3) dy}
[/mm]
oder? Kann mir vielleicht jemand sagen, nach welcher Regel man hier vorgehen muss. Danke!
Lg
Jero
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Do 15.07.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo Jero,
Deine formale Schreibweise bringt Dich hier nicht sehr viel weiter wie Du ja wohl selbst gesehen hast und sie hat einen Fehler. Die Laplacetransformierte ist definiert für Funktionen, die den Wert 0 für negative Argumente haben und dies gilt für die Funktion [mm] t [/mm] sicher nicht, zumindest steht es nicht da.
Also bleibt doch nur der Weg über die Faltung wie ich ihn oben schon beschrieben habe.
Also starten wir mit
$$ y(t) = [mm] \int [/mm] g( [mm] \tau [/mm] ) [mm] \cdot [/mm] y [mm] (t-\tau) \, [/mm] d [mm] \tau [/mm] $$
und das bedeutet, dass man zunächst mal formal die Variable gegen ein [mm] \tau [/mm] austauscht. Eine Funktion mit einem Argument von [mm] - \tau [/mm] bedeutet also, dass man die Funktion an der Ordinate spiegelt. Jetzt muss man sich überlegen, welche Funktion Deiner beiden Funktionen man hierfür auswählt, um die Rechnung so einfach wie möglich zu machen. Ich würde wegen der einfacheren Integralgrenzen hierfür die Funktion [mm] y(t) = t [/mm] wählen. Da die Heavisidefunktion für Werte kleiner als 3 sowieso 0 ist, kennen wir schon mal die untere Integralgrenze. Damit steht dann so etwas da wie
$$ y(t) = [mm] \int_{\tau = 3}^{\infty} [/mm] (t - [mm] \tau) \cdot [/mm] 1 [mm] \, d\tau [/mm] $$
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Sa 17.07.2010 | | Autor: | Jero |
Hallo!
Ok, das mit dem Integrieren hat jetzt funktioniert! Ich bekomme das Gleiche raus, wie mit der Laplace Transformation. 
Hab mich jetzt noch mit ein paar anderen Funktionen gespielt, um mir etwas Sicherheit zu verschaffen. Faltungen mit der heaviside Funktion funktionieren eigentlich immer. Allerdings bekomme ich bei Faltungen mit der Impulsfunktion (Delta-Funktion) nicht das Selbe raus wie mit der Laplace Transformation. Woran kann das liegen? Ich schätze es wird an den Grenzen liegen? (alles andere müsste sich ja gleich verhalten, egal welche Funktion ich verwende). Wenn ich also z.B. das selbe Beispiel wie gehabt mit der Deltafunktion integriere kommt immer was anderes raus (egal was ich bei den Grenzen einsetze). Was könnte der Fehler sein? Danke!
Lg
Ludwig
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:23 So 18.07.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo Ludwig,
da die Laplcetransformierte der Deltafunktion ja 1 ergibt, sollte also die Berechnung nicht so schwierig sein. Ohne ein beispiel ist da jetzt schwer was zu sagen. Das Faltungsintegral wird auf jeden Fall sehr einfach, da die Funktion ja nur noch an der Stelle ausgewertet wird, an der das Argument der Deltafunktion den Wert 0 ergibt, allgemein also
$$ [mm] \int [/mm] f(t) [mm] \cdot \delta(t-\tau_1) \, [/mm] dt = [mm] f(\tau_1) [/mm] $$
Viele Grüße,
Infinit
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