Faltung, abschnw. def. Fkt < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:32 Mi 22.06.2005 | | Autor: | matrinx |
Hallo!
ich soll folgende Funktion "mit sich selbst" falten:
[mm] f(x)=\begin{cases} e^{-x}, & \mbox{für } x \mbox{ > 0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ sonst} \end{cases}
[/mm]
mit der Faltung [mm] f\*f [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{+\infty} [/mm] {f(t)*f(x-t) dt}
Das geht insoweit ganz gut, da für [mm] t\le0 [/mm] und [mm] t\ge [/mm] x das integral verschwindet, d.h. für die Faltung wird in den Grenzen [0,x] integriert.
Das (vorläufige End-) Ergebnis der Faltung ist also [mm] f\*f=x*e^{-x}.
[/mm]
Nun die Frage:
Habe ich durch die Betrachtung der neuen Integrationsgrenzen schon gezeigt, dass [mm] f\*f(x)=0 [/mm] für x<0 ist oder muss das noch extra bewiesen werden?
Zusatz:
Ich würde auch gerne auf die Form
[mm] f\*f= \bruch{1}{2}e^{-x}(|x|+x)
[/mm]
kommen, was das abschnittsweise definierte Ergebnis der Faltung "einfacher" beschreibt. Sieht jemand von Euch, wie ich die Faltung auf diese Form bringen kann?
Danke für Eure Mühen,
Grüsse
Martin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Martin
> ich soll folgende Funktion "mit sich selbst" falten:
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> [mm]f(x)=\begin{cases} e^{-x}, & \mbox{für } x \mbox{ > 0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ sonst} \end{cases}[/mm]
>
> mit der Faltung [mm]f\*f[/mm] = [mm]\integral_{-\infty}^{+\infty}[/mm]
> {f(t)*f(x-t) dt}
>
> Das geht insoweit ganz gut, da für [mm]t\le0[/mm] und [mm]t\ge[/mm] x das
> integral verschwindet, d.h. für die Faltung wird in den
> Grenzen [0,x] integriert.
>
> Das (vorläufige End-) Ergebnis der Faltung ist also
> [mm]f\*f=x*e^{-x}.[/mm]
>
> Nun die Frage:
> Habe ich durch die Betrachtung der neuen
> Integrationsgrenzen schon gezeigt, dass [mm]f\*f(x)=0[/mm] für x<0
> ist oder muss das noch extra bewiesen werden?
Das hast du gezeigt knnst natürlich nochmals anmerken das das Integral verschwindet für x<0.
> Zusatz:
> Ich würde auch gerne auf die Form
> [mm]f\*f= \bruch{1}{2}e^{-x}(|x|+x)[/mm]
> kommen, was das
> abschnittsweise definierte Ergebnis der Faltung "einfacher"
> beschreibt. Sieht jemand von Euch, wie ich die Faltung auf
> diese Form bringen kann?
Durch eine Fallunterscheidung für dein gewünschtes Ergebnis(quasi rückwärts)
Was bedeutet [mm]f\*f= \bruch{1}{2}e^{-x}(|x|+x)[/mm] für x<0
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:50 Do 23.06.2005 | | Autor: | matrinx |
Das mit der Fallunterscheidung und rückwärts probieren is ne gute Sache, werds mal testen dann. Sieht einfach professioneller aus mit dem Betrag darin und nicht abschnittsweise definiert :)
Danke für die Antwort
Grüsse
Martin
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