Faltung mit Standardglätter < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei
[mm] f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f \left( x\right) = \left\{\begin{matrix}
1 & -1 \leq x \leq 2\\
0 & \text{sonst}
\end{matrix} \right.[/mm]
Bestimmen Sie die Faltung von [mm]f [/mm] mit der Glättungsfunktion [mm]\eta _{\frac{1}{2}} \left(x \right)[/mm]. |
Hallo an alle,
laut unserer Definition hat der Standardglätter in diesem Fall die Form
[mm] \eta _{\frac{1}{2}} \left(x \right) = 2 \alpha \left\{\begin{matrix}
e^{-\frac{1}{1-4x^2}} & 4x^2 < 1\\
0 & 4x^2 \geq 1
\end{matrix} \right.[/mm]
wobei [mm]\alpha[/mm] eine Normierungskonstante ist. Die Faltung ist ferner definiert durch
[mm] \left( f \ast \eta _{\frac{1}{2}} \right) \left(x \right) = \int_{-\infty}^{+\infty}\eta _{\frac{1}{2}} \left(x-y\right) \cdot f\left(y \right) dy [/mm]
Die etwas lästige Integrationsgrenzenbestimmung habe ich bereits hinter mir. In den Bereichen, in denen das Integral nicht sowieso verschwindet, weil eine der beiden Funktionen Null ist, wird nur der Standardglätter [mm]\eta _{\frac{1}{2}} \left(x \right)[/mm] mal Eins integriert. Und hierin liegt mein Problem: Das Integral
[mm] \int e^{-\frac{1}{1-4x^2}} dx [/mm]
zu lösen. Ich habe bereits diverse Substitutionen getestet ([mm]u^2=1-4x^2[/mm], [mm]u^2=\frac{1}{1-4x^2}[/mm] oder auch meine bisher schönste, aber dennoch nicht zielführende [mm]\sin u=2x[/mm]), Mathematica bemüht, Integraltafeln gewälzt und gegoogelt. Leider alles ergebnislos. Weiß jemand, wie man bei diesem Integral zu einer Lösung kommt?
Vielen Dank für eure Bemühungen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mo 17.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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