Faltung (rechnen) < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 Mo 24.08.2009 | | Autor: | Jan2006 |
Hallo zusammen!
Ich habe zwei Signale x(t) und y(t) gegeben (siehe Anhang), die ich miteinander falten möchte. Das Ergebnis soll
z(t) sein. Graphisch ist die Faltung für mich kein Problem (zumindest in den meisten Fällen). Was mir aber manchmal
nicht ganz klar wird, ist...
1.) ...die Amplitude des gefalteten Signals. Es kursieren Gerüchte, dass man die Amplitude folgendermaßen berechnen
kann: Amplitude von x(t) * Amplitude von y(t) * Breite des kleinsten Signals. In dem Anhang im Beispiel würde sich
für die Amplitude von z(t) also folgendes ergeben:
2 * 1 * 4T = 8T
Die Amplitude des gefalteten Signals z(t) sollte also 8T betragen. Die o.g. Formel stimmt auch zu ca. 85% oder so,
aber ich weiß genau, dass es auch Faltungsaufgaben gibt, wo das eben nicht stimmt.
2.)...die eigentliche Berechnung über das Faltungsintegral, welches so lautet:
z(t) = [mm] \integral_{-\infty}^{+\infty}{x(\tau)*y(t-\tau) d\tau}
[/mm]
Wie berechnet sich die Faltung detailliert?
In meinem Beispiel im Anhang lasse ich x(t) stehen, während y(t) an der Y-Achse gespiegelt und von links an x(t)
herangeführt wird. Das heißt, dass mein Signal z(t) von -8T bis +2T definiert ist. Das Signal x(t) kann dabei in 2
Teile aufgeteilt werden:
1. Steigende Rampe:
[mm] \bruch{t}{T}+3
[/mm]
2. Fallende Rampe:
[mm] \bruch{-t}{T}+1
[/mm]
Zur Lösung hätte ich jetzt folgendes gesagt:
1. t < -8T: z(t)=0
2. -8T [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] -6T: z(t) = [mm] \integral_{?}^{t}{x(\tau)*y(t-\tau) d\tau} [/mm] = [mm] \integral_{?}^{t}{(\bruch{\tau}{T}+3)*1 d\tau}
[/mm]
Ihr seht.. ich komme irgendwie nicht weiter. Der Prof hat leider in seinem Script das einfachste Beispiel genommen,
das man nehmen kann (ohne Verschiebung, beide Signale haben dieselbe Amplitude, beide Signale haben die gleiche
Breite). Von daher wird mir die Berechnung der Faltung überhaupt nicht klar und ich würde mich sehr darüber freuen,
wenn mir mal jemand die verschiedenen Integrale aufschreiben könnte, um z(t) vollständig zu berechnen.
Vielen Dank im voraus für eure Hilfe!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:22 Mo 24.08.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo Jan,
Dein Gerücht zur Berechnung der Amplitude des Signals würde ich auch nur als solches bezeichnen. Es hängt natürlich von der Art der Signale ab, welche Amplitude das Faltungssignal besitzt. So wie Du es beschrieben hast, bezieht es sich wohl auf die Faltung zweier Rechtecksignale, denn schiebt man eines dieses Rechtecke unter dem anderen durch, so ist die Multiplikation beider Maximalwerte mal die Minimaldauer wirklich die Maximalamplitude. Für andere Signalformen gilt das schon nicht mehr.
Die Grenzen des Faltungsintegrals hast Du schon mal richtig erkannt. Man kommt leider furchtbar schnell mit dem t und dem tau durcheinander, hier muss man wirklich aufpassen. Okay, dann schieben wir doch mal das Rechteck von links kommend unter dem Dreieck durch. Den ersten Teil hast du ja schon richtig angegeben, die untere Grenze ist [mm] \tau = - 3T [/mm], denn links davon ist das Dreiecksignal immer Null.
also bekommst Du für [mm] - 8 T < t \leq - 6T [/mm] das Integral
$$ [mm] \int_{\tau = - 3 T}^{t} (\bruch{\tau}{T} [/mm] + 3) [mm] \, d\tau \, [/mm] . $$
Verschiebst Du das Rechteck weiter, so verringert sich aufgrund der fallenden Flanke des Dreiecks das Integral wieder und Du bekommst für [mm] - 6 T < t \leq - 4 T [/mm] das Integral
$$ [mm] \int_{\tau = - 3 T}^{-T} (\bruch{\tau}{T} [/mm] + 3) [mm] \, d\tau [/mm] + [mm] \int_{\tau = - T}^{t} (\bruch{-\tau}{T} [/mm] + 1) [mm] \, d\tau \, [/mm] . $$
Danach bleibt das Integral konstant im Bereich [mm] - 4 T < t \leq - 2 T [/mm], denn Du schiebst einfach das Rechteck unter dem Dreieck durch. Danach beginnt die linke Kante des Rechtecks in das Dreieck einzudringen und das Faltungsintegral verringert sich entsprechend. Hier taucht nun das t in der unteren Integralgrenze auf, die obere Grenze ist [mm] \tau = T [/mm], denn rechts davon ist das Dreieickssignal Null. Schreibe mal zur Übung die Integrale für die beiden noch fehlenden Bereiche auf.
Viel Erfolg dabei,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Mo 24.08.2009 | | Autor: | Jan2006 |
Hallo Infinit!
Danke schonmal für die Antwort. Ich verstehe jedoch nicht, warum ich für -8T [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] -6T von -3T bis t integrieren soll? Warum von -3T? Da kommt dann bei mir was völlig falsches raus, zumal bei -8T der Wert für z(t)=0 sein sollte, da sich ja noch keine Flächen überlagern.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:09 Di 25.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du faengst ja auch bei -8T an, da ist dann das ganze auch noch 0 und dein Dreieck faengt doch bei -3T an, also faengst du da an, wo dein Rechteck gerade in das Dreieck eintritt.
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:10 Di 25.08.2009 | | Autor: | Jan2006 |
Was heißt denn "fängst du da an, wo dein Rechteck gerade in das Dreieck eintritt"? Reden wir von der Stelle -3T ? Oder reden wir vielmehr von der Y-Achse des gespiegelten Signals, welches von links ankommt? Weil dort befindet sich ja der Startwert von z(t). Ich habe es so gemacht, wie Infinit geschrieben hat. Wenn ich jedoch -8T für t einsetze, dann kommt für z(t) nicht Null raus, sondern 12,5T (siehe Anhang!). Und nicht nur das... wenn ich -7T und -6T für t einsetze, dann wird z(t) kleiner, was überhaupt nicht sein kann, da der Anteil, der sich überlagernden Flächen zu- und nicht abnimmt. Ich habe ja auch schon viele Möglichkeiten durchgerechnet, jedoch komme ich auf kein gescheites Ergebnis.
Im Anhang findet ihr mein graphisches Ergebnis... zumindest grob.... so, wie ich es mir vorstellen könnte. Wäre schön, wenn ich es jetzt "nur" noch rechnerisch schaffen könnte ^^
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Di 25.08.2009 | | Autor: | Jan2006 |
So, ich habe nun noch einmal nachgerechnet und bin zu folgendem Ergebnis gekommen (siehe Anlage).
Ich habe zwar jetzt für z(t) Werte für -3T bis T raus, jedoch müssen die Werte ja eigentlich an die Stelle -8T bis -4T gezeichnet werden, da die erste Berührung der beiden Funktionen bei -8T beginnt, denn dort befindet sich ja die Y-Achse der gespiegelten Funtion y(t). Theoretisch weiß ich ja jetzt auch, wie der Graph für z(t) weiterlaufen muss, jedoch brauche ich rechnerisch nochmal Hilfe, wie man das berechnen kann. Vielleicht kann mir jemand nochmal weiterhelfen? Wäre super!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 Di 25.08.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo Jan,
die Rechnung an sich sieht schon gut aus, aber Du schmeisst auch im Diagramm die t- und die tau-Achse durcheinander.
Die y-Achse bleibt wo sie ist, nur eine Funktion wird an ihr gespiegelt, in diesem Fall das Recchteck.
Schaue Dir dazu doch mal den Thread an, den ich mit Reicheinstein ab dem 18. 8. führte.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Di 25.08.2009 | | Autor: | Jan2006 |
Hallo Infinit, hallo an die anderen!
Wie geht's denn rechnerisch weiter  ?
Ohne jetzt mal auf den Thread geguckt zu haben. Also graphisch und rechnerisch müsste doch bis dahin alles passen. Wir haben dass in den Klausuren und in der Vorlesung genauso gemacht. Problem an der Sache: Wir haben die Faltung lediglich graphisch durchgeführt, also eine Funktion spiegeln und von links ankommen lassen. Lässt sich ja auch eigentlich gut machen, wie gesagt... man kennt eben nicht immer sofort die Amplitude. Durch die Rechnung weiß ich diese jetzt. Sie beträgt bei mir im Maximum 10T, dass hätte ich so nicht gewusst. Dort haut dann eben nicht dieses Gerücht mit "Amplitude des 1. Signals * Amplitude des 2. Signals * Breite des kleinsten Signals" hin.
Ich wüsste jetzt erstmal nicht, was ich da durcheinanderschmeiße. Ich möchte ja lediglich sagen, dass es wichtig ist, dass man weiß, wo sich die Y-Achse der gespiegelten Funktion befindet. Denn sobald sich die beiden Signale berühren, schaut man, wo sich die Y-Achse der gespiegelten Funktion befindet und fängt ab dort an zu zeichnen. Das wäre bei mir -8T.
Ist die von links kommende Funktion komplett durch das stehengelassene Signal druchgewandert, schaut man, wo sich die beiden Signale "gerade noch" berühren und achtet wieder auf den jetzigen Standort der Y-Achse der gespiegelten Funktion. Nun weiß man, wo man für z(t) aufhören muss zu zeichnen. Das wäre bei mir bei 2T.
Mir fehlt eben ein bißchen das rechnerische Verständnis, wie es nun weitergeht und bitte um Hilfe. Rein logisch, kann ich das Ergebnis ja zeichnen.
Vielen Dank nochmal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Di 25.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
infinit hat doch genau beschrieben, wie du rechnen Musst. [mm] x(\tau)=\tau/T+3 [/mm] fuer [mm] -3T\le\tau\le-T [/mm] nur
fur t=-8T ist das Integral also noch Null. fuer t=-7T etwa ragt [mm] y(t-\tau [/mm] )gerade 1 Einheit in dein Dreieck, du integrierst also ueber [mm] \tau [/mm] von -3T bis [mm] \tau=-2T [/mm] usw. weil [mm] y(t-\tau) [/mm] weiter rechts 0 ist.
wenn du ueber -T raus bist kommt dei absteigender Ast dazu,
Wo liegen deine Scheirigkeiten denn. Schreib doch mal alle Integrale einfach hin.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:51 Sa 29.08.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo Jan,
die beiden ersten Integrale habe ich Dir ja schon mal hingeschrieben gehabt.Für den konstanten bereich bekommst Du für [mm] - 4T < t \leq - 2T [/mm] das Integral
$$ [mm] \int_{\tau=-3T}^{-T} (\bruch{\tau}{T} [/mm] + 3 ) [mm] \, d\tau [/mm] + [mm] \int_{\tau=-T}^{T} [/mm] ( [mm] \bruch{- \tau}{T} [/mm] + 1) [mm] \, d\tau [/mm] $$
Danach für den Bereich [mm] - 2T < t \leq 0 [/mm] erhält man
$$ [mm] \int_{\tau=-3T-t}^{-T} (\bruch{\tau}{T} [/mm] + 3 ) [mm] \, d\tau [/mm] + [mm] \int_{\tau=-T}^{T} [/mm] ( [mm] \bruch{- \tau}{T} [/mm] + 1) [mm] \, d\tau [/mm] $$ und schließlich für den Bereich [mm] 0 < t \leq 2T [/mm]
$$ [mm] \int_{\tau=-T+t}^{T} [/mm] ( [mm] \bruch{- \tau}{T} [/mm] + 1) [mm] \, d\tau [/mm] $$
Male Dir am einfachsten für jeden dieser Bereiche ein Beispiel auf, dann kannst Du die Integralgrenzen besser erkennen, denn damit scheinst Du ja Schwierigkeiten zu haben.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:39 Sa 29.08.2009 | | Autor: | Jan2006 |
Die Schwierigkeit leigt meiner Meinung daran, dass ich zu sehr an graphischen Faltung "hänge". Ich werd's probieren, vielen Dank nochmals!
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