Faltung unabh. Zufallsvariable < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Mi 28.11.2007 | | Autor: | marcsn |
| Aufgabe | Sei X geometrischverteilt mit Parameter p und Y gleichverteilt auf {1,2,3}. X und Y seien unabhangig. Bestimmen Sie die Verteilung von Z = X +Y.
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Hallo, das ist die erste Aufgabe die wir zu diesem Thema haben und ich bin mir aus diesem Grunde noch ziemlich unsicher. Ich habe es so probiert :
Zunächst einmal die Verteilung von X und Y:
[mm]P[X=1] = p[/mm]
[mm]P[X=2] = p (1-p)[/mm]
[mm]P[X=3] = p (1-p)^2[/mm]
[mm]P[Y=1]=P[Y=2]=P[Y=3] = \bruch{1}{3}[/mm]
So und jetzt kommt mein Versuch. Ich habe mir das so vorgestellt:
[mm]P[X+Y=2]=P[X=1]P[Y=1] = \bruch{1}{3}p[/mm]
[mm]P[X+Y=3]=P[X=1]P[Y=2]+P[X=2]P[Y=1] = \bruch{1}{3}p + \bruch{1}{3}p(1-p)[/mm]
...
...
[mm]P[X+Y=5] = P[X=2]P[Y=3]+P[X=3]P[Y=2] = \bruch{1}{3}p(1-p) +\bruch{1}{3}p(1-p)^2[/mm]
[mm]P[X+Y=6] = ... [/mm]
Hab mal ein paar ausgelassen, es geht mir ja nur darum zu wissen ob ich das so überhaupt richtig gemacht habe oder ob ich da ganz anders heran gehen muss ?
Wäre super nett wenn sich das jemand kurz mal durchdenken könnte.
Gruß
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 Mi 28.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Marc
>
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> [mm]P[X+Y=5] = P[X=2]P[Y=3]+P[X=3]P[Y=2] = \bruch{1}{3}p(1-p) +\bruch{1}{3}p(1-p)^2[/mm]
>
Fehlt hier nicht der Summand $P(X=4)P(Y=1)$?
lg Luis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:22 Mi 28.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo Marc,
betrachte mal folgendes Schema
[mm] \begin{tabular}{cccccc}\hline
Y_1& X& Y_2& X & Y_3& X \\
\hline
1 & 1 & & & & \\
1 & 2 & 2 & 1 & & \\
1 & 3 & 2 & 2 & 3 &1 \\
1 & 4 & 2 & 3 & 3 &2 \\
1 & 5 & 2 & 4 & 3 &3 \\
\vdots \qquad \vdots
\end{tabular}
[/mm]
Jede Zeile hat dieselbe Summe. Kannst du daraus eventuell alle Wsken ableiten?
lg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Mi 28.11.2007 | | Autor: | marcsn |
Also zu deinem ersten Posting: Ich hatte die Aufgabe so verstanden, dass X und Y nur Werte aus {1,2,3} annehmen kann, darum habe ich für P[X+Y =5] den Summand P[X=4]P[Y=1] weggelassen...
War das ein Fehler ? Darf X also auch Werte ungleich 1,2 oder 3 annehmen ?
Dein zweites Posting verstehe ich leider nicht, was soll mit die Tabelle sagen wie kann ich sie interpretieren und für was steht sie ?
Gruß
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Mi 28.11.2007 | | Autor: | marcsn |
Nochmal zum 2ten Posting von dir :
Hab nun gesehen, dass dies ja direkt meinen Summanden entpricht. Wie bist du darauf gekommen ?
Mit jede Zeile hat die selbe Summe meintest du dann wohl da ich eine einzige Summe habe, für die sich nur der Laufindex erhöht, wodurch die Zeilen entstehen oder ?
Gruß
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:23 Mi 28.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo Marc,
die geometrische Verteilung besitzt die Wahrscheinlichkeitsfunktion [mm] $P(X=x)=pq^{x-1}$, [/mm] $x=1,2,3,...$ und nimmt somit unendlich viele Werte an. Somit musst du auch unendlich viele "Faltungsfaelle" betrachten. Die erste Zahl, die $Z$ annehmen kann ist $(Z=2)$. Der Fall ist in der ersten Zeile der Tabelle beschrieben, denn er ist identisch mit $P(X=1)P(Y=1)=p/3$, wie du schon sehr schoen selbst gefunden. Weiter ist $P(Z=3)=P(X=1)P(Y=2)+ P(X=2)P(Y=1)$, was du der zweiten Zeile entnehmen kannst. Auch diese Wsk hast du schon bestimmt. Die dritte Zeile fuehrt zu $P(Z=4)=P(X=1)P(Y=3)+ P(X=2)P(Y=2)+P(X=3)P(Y=1)$. Versuch jetzt mal eine Formel fuer $P(Z=z)$ zu finden fuer $z>4$. Ich denke, das schaffst du nun.
lg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Mi 28.11.2007 | | Autor: | marcsn |
Alles klaro :) Habs kappiert. Hatte nur nicht verstanden, dass ich für die geometische Verteilung wirklich alle Werte nehmen darf aber das macht ja auch nur so Sinn vielen Dank mal wieder Luis :)
Achja die Formel ist natürlich :
[mm]P[X+Y=z]=\summe_{x\in Z}p(x)q(z-x) [/mm]
Dabei sollen p und q die Gewichte von X und Y sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Do 29.11.2007 | | Autor: | marcsn |
Hallo nochmal 
Ganz so leicht ist es nun doch nicht komme einfach auf keinen grünen Zweig.
Also die Formel habe ich ja aber das bringt mir ja nicht allzuviel, denn ich muss ja auch beweisen, dass sie für die hier gegebenen Zufallsvariablen auch stimmt.
In der Vorlesung haben wir ja schon für X,Y unabhängige ZVen den Faltungssatz bewiesen und das hier ist ja nichts anderes.
Habe es schon mit Induktion versucht aber kam nicht sonderlich weit..
Was nun ?
Hier nochmal die Summe:
[mm]\summe_{i=1}^{n}P[Y=i]P[X=n-i][/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Do 29.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo Marc,
nun klammere dich doch nicht so sklavisch an den Gedanken, die Aufgabe
mit dem Faltunssatz loesen zu wollen. Ich lese:
Bestimmen Sie die Verteilung von Z = X +Y.
und nicht
Bestimmen Sie die Verteilung von Z = X +Y mit dem Faltungssatz.
Also: Alle Mittel sind erlaubt.
Meinem Schema entnehme ich $P(Z=2)=p/3$ und $P(Z=3)=p(1-p)/3+p/3$.
Danach sehe ich folgende allgemeine Gesetzmaessigkeit:
[mm] $P(Z=z)=[p(1-p)^{z-2}+p(1-p)^{z-3}+p(1-p)^{z-4}]/3=p(1-p)^{z-4}[3-3p-p^2]/3$
[/mm]
fuer $z=4,5,6,...$
Das war's.
lg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:15 Fr 30.11.2007 | | Autor: | marcsn |
Nagut überzeugt
Vielen Dank Luis !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Fr 30.11.2007 | | Autor: | marcsn |
Achja am Ende müsste es glaub ich nicht -p² in der Klammer sondern +p² heißen wenn ich mich nicht verwurschtelt hab :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Fr 30.11.2007 | | Autor: | luis52 |
> Achja am Ende müsste es glaub ich nicht -p² in der Klammer
> sondern +p² heißen wenn ich mich nicht verwurschtelt hab :)
Genau. Aber das hab ich absichtlich eingebaut um zu sehen,
ob du auch wirklich aufpasst. 
lg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:27 Fr 30.11.2007 | | Autor: | marcsn |
Hab mir schon fast gedacht, dass du das sagst
Edit : Argh das sollte keine Frage werden :((
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