Faltung und Support < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:42 Mo 08.08.2011 | | Autor: | f12 |
Guten Tag
Ich bin neu in diesem Forum und hoffe, auf folgende Frage eine Antwort zu finden:
Wenn ich mir folgende Funktionen betrachte:
[mm] \rho \in C^\infty_0(B_1(0)) \subset \IR^n: 0\le \rho , \integral_{\IR^n}{\rho(x) dx}=1[/mm]
Also ein "mollifier" und dann folgende Modifikation:
[mm] \rho_\epsilon:=\epsilon^{-1}\rho(\bruch{x}{\epsilon}) [/mm]
Damit kann ich ja eine Funktion [mm] f \in L^p(\Omega), \Omega \subset \IR^n [/mm] durch Faltung annähern. Folgendes weiss ich aus einem bewiesenen Satz:
[mm] \rho_\epsilon \* f \in C^\infty \forall \epsilon[/mm]
Nun zu meiner Frage: Wenn ich jetzt den Support kontrollieren will, d.h. ich möchte gerne, dass [mm] \rho_\epsilon \* f \in C^\infty_0 \forall \epsilon[/mm] ist, kann ich das ja auf sicher eine Weise erledigen:
Ich multipliziere die Faltung mit einer Abschneidefunktion $\ [mm] \eta [/mm] $, wobei diese auf einem Kompaktum $\ K $ innerhalb meiner Menge $\ [mm] \Omega [/mm] $ folgendes erfüllt: $\ 0 [mm] \le \eta \le [/mm] 1 [mm] \text{ auf } \Omega, \eta \equiv [/mm] 1 [mm] \text{ auf } [/mm] K $.
Unter welchen Umständen hat die Faltung [mm] \rho_\epsilon \* f [/mm] bereits einen kompakten Support, sodass ich keine Abschneidefunktion brauche?
Ich hoffe, dass ich meine Frage klar formulieren konnte und mich an alle Forumsregeln gehalten habe. Ich danke für eine erklärende Antwort.
Grüsse
f12
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:18 Mo 08.08.2011 | | Autor: | Dath |
Ehrlich gesagt kommt das stark auf den Mollifier an. Auf jeden Fall hat die Faltung kompakten Support wenn entweder der Mollifier oder die Funktion kompakten Support hat. Ob es noch schwächer geht, weiß ich aus dem Stegreif nicht.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:30 Di 09.08.2011 | | Autor: | f12 |
Hallo Dath
Darf ich dich fragen, von wo du das hast ?
> Ehrlich gesagt kommt das stark auf den Mollifier an. Auf
> jeden Fall hat die Faltung kompakten Support wenn entweder
> der Mollifier oder die Funktion kompakten Support hat. Ob
> es noch schwächer geht, weiß ich aus dem Stegreif nicht.
Ich kenne nur die Aussage, dass die Faltung, selbst wenn der Mollifier kompakten Support hat, "nur" eine glatte Funktion ist. D.h. die Eigenschaft kompakter Support geht bei den mir bekannten Sätzen verloren (i.A.).
Gruss
f12
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:27 Di 09.08.2011 | | Autor: | Dath |
O.K. ich muss berichtigen:
1. Satz von Hörmander: Wenn die beiden Funktionen stetig und kompakt supportet sind, dann ist die Faltung eine stetige, kompakt supportete Funktion.
2. Wenn nur eine Funktion kompakt ist, und die andere L1-integrabel, dann ist die Faltung (auf jeden Fall) stetig.
Hm. In der Tat das Püroblem ist interessant.
Auf Basis der o.g. Grundlagen behaupte ich, dass es von vorneherein nicht möglich ist, eine Aussage zu treffen.
Sicher bin ich mir aber nicht. Auf jeden Fall kann man immer, mit einer Abschneidefunktion (das sagt dir was?) die Faltung im Nachhinein kontrollieren. Ansonsten, weil
[mm]supp(f_{\varepsilon}) = supp(f) + supp(\varrho_{\varepsilon})[/mm], wobei + Minowski-Addition ist, d.h., [mm]A+B=\{a+b, a \element A, b \element B \}[/mm], kannst du bei Kenntnis von der Faltung, also f_epsilon, und von f eine Aussage über den Support machen. Aber ic schätze, du willst ja von vorneherei wissen, ob man das ganze kontrollieren kann. In dem Fall lautet meine Antwort, wenn sich abgesehen von den Standardlehrbüchern, nichts neues getan hat (z.B. in der Forschung), 'nein'.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:39 Di 09.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> kompakt supportete Funktion.
Gehts noch ? Es wird immer schlimmer !
Warum sagst Du nicht einfach: "Funktion mit kompaktem Träger" ?
Greetz vom not very amusteten FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:45 Di 09.08.2011 | | Autor: | Dath |
Hehe, ich "darf" jetzt nur noch englische Bücher lesen, so dass ich aus der deutschen Mathesprache ein wenig draußen bin. Hast natürlich recht. War "gedenglisht".^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:03 Di 09.08.2011 | | Autor: | f12 |
Hallo Dath / fred
Ich entschuldige mich bereits zu Beginn für die nachfolgenden englischen Wörter. Das liegt einfach daran, wenn man nur englische Mathebücher liest. Also ich bitte um Nachsicht...
> O.K. ich muss berichtigen:
> 1. Satz von Hörmander: Wenn die beiden Funktionen stetig
> und kompakt supportet sind, dann ist die Faltung eine
> stetige, kompakt supportete Funktion.
Dieser Fall ist für mich uninteressant.
> 2. Wenn nur eine Funktion kompakt ist, und die andere
> L1-integrabel, dann ist die Faltung (auf jeden Fall)
> stetig.
Genau, den Satz kenne ich auch, man kann ja sogar zeigen, dass sie $\ [mm] C^\infty$ [/mm] ist.
> Hm. In der Tat das Püroblem ist interessant.
> Auf Basis der o.g. Grundlagen behaupte ich, dass es von
> vorneherein nicht möglich ist, eine Aussage zu treffen.
>
> Sicher bin ich mir aber nicht. Auf jeden Fall kann man
> immer, mit einer Abschneidefunktion (das sagt dir was?) die
> Faltung im Nachhinein kontrollieren. Ansonsten, weil
>
Das ist mir bekannt, habe ich auch in meiner ersten Frage erwähnt ;)
> [mm]supp(f_{\varepsilon}) = supp(f) + supp(\varrho_{\varepsilon})[/mm],
> wobei + Minowski-Addition ist, d.h., [mm]A+B=\{a+b, a \element A, b \element B \}[/mm],
> kannst du bei Kenntnis von der Faltung, also f_epsilon, und
> von f eine Aussage über den Support machen.
Damit habe ich auch herumgespielt ohne nennenswerte Erfolge
> schätze, du willst ja von vorneherei wissen, ob man das
> ganze kontrollieren kann. In dem Fall lautet meine Antwort,
> wenn sich abgesehen von den Standardlehrbüchern, nichts
> neues getan hat (z.B. in der Forschung), 'nein'.
Genau das war mein Wunsch. Mich hätte interessiert, ob ich einen Mollifier allgemein so geschickt wählen kann, dass $\ [mm] \rho_\epsilon \* [/mm] f [mm] \in C^\infty_0 \forall \epsilon$, [/mm] wobei $\ f [mm] \in L^p$. [/mm]
Dann werde ich wohl immer im Nachhinein eine Cutoff-function gebrauchen.
Gruss
f12
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:54 Di 09.08.2011 | | Autor: | Dath |
Nicht so schnell aufgeben. Noch ist ja nichts bewiesen/widerlegt.
Wenn die Funktion Lp ist, und der Mollifier hätte einen kompakten Träger, dann folgt daraus nicht, dass die Faltung kompakten Träger hat (Man kann einfach Gegenbeispiele konstruieren). Allerdings kommen nur Glättungsfunktionen in Betracht, die selbst einen kompakten Träger haben (Die Idee dafür liegt im Hörmander-Satz). Denn, angenommen die Glättungsfunktion hätte keinen kompakten Träger, dann und die Funktion an sich ist in Lp, aber besitzt keinen kompakzten Träger, dann ist die Faltung überall, bis auf eine kompakte Menge, nicht null, d.h., die Faltung hat keinen kompakten Support.
Insofern kann man wohl behaupten, dass, wenn die Faltung kompakten Träger haben soll, das erstens von dem Mollifier abhängt UND zweitens davon, dass die Funktion selbst kompakten Träger hat. dann ist die Faltung definitiv kompakten Trägers.
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