Faltung von IR^d mit IR < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe folgenden Ausdruck gegeben:
[mm] \nabla_x [/mm] U [mm] \* \rho,
[/mm]
wobei x [mm] \in \IR^d [/mm] der Ort, U: [mm] \IR^d \to \IR [/mm] das Potential und [mm] \rho: \IR^d \times \IR \to \IR [/mm] die Dichte ist. Dabei ist U = U(x) und [mm] \rho [/mm] = [mm] \rho(x,t).
[/mm]
Angegeben ist die Faltung in x zwischen dem Potential und der Dichte. In den Definitionen der Faltung steht aber, dass beide Funktionen in den gleichen Raum abbilden müssen, in [mm] \IR. [/mm] Das ist bei mir nicht der Fall, da [mm] \nabla_x [/mm] U [mm] \in \IR^d. [/mm] Kann ich trotzdem die gewöhnliche Definition,
[mm] \nabla_x [/mm] U [mm] \* \rho [/mm] = [mm] \integral_{\IR^d}{\nabla_x U(\tau) \rho(x-\tau) d\tau},
[/mm]
anwenden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:05 Mi 19.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Natalie,
> Ich habe folgenden Ausdruck gegeben:
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> [mm]\nabla_x[/mm] U [mm]\* \rho,[/mm]
>
> wobei x [mm]\in \IR^d[/mm] der Ort, U: [mm]\IR^d \to \IR[/mm] das Potential
> und [mm]\rho: \IR^d \times \IR \to \IR[/mm] die Dichte ist. Dabei
> ist U = U(x) und [mm]\rho[/mm] = [mm]\rho(x,t).[/mm]
>
> Angegeben ist die Faltung in x zwischen dem Potential und
> der Dichte. In den Definitionen der Faltung steht aber,
> dass beide Funktionen in den gleichen Raum abbilden
> müssen, in [mm]\IR.[/mm]
das kann auch [mm] $\IC$ [/mm] sein:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Faltung_%28Mathematik%29
> Das ist bei mir nicht der Fall, da
> [mm]\nabla_x[/mm] U [mm]\in \IR^d.[/mm] Kann ich trotzdem die gewöhnliche
> Definition,
>
> [mm]\nabla_x[/mm] U [mm]\* \rho[/mm] = [mm]\integral_{\IR^d}{\nabla_x U(\tau) \rho(x-\tau) d\tau},[/mm]
>
> anwenden?
Bist Du sicher, dass oben nicht vielleicht
[mm] $\nabla_x [/mm] (U [mm] \* \rho)\,$
[/mm]
gemeint ist? Denn
$(U [mm] \* \rho)(x)$
[/mm]
würde vielleicht (etwas) mehr Sinn machen...
(Ich würde mich allerdings fragen, wieso aus [mm] $\rho(x,t)$ [/mm] dabei [mm] $\rho(x)$ [/mm] wird...
beachte: [mm] $U\, \rho$ [/mm] müssten denselben Definitionsbereich, nennen wir ihn hier
mal [mm] $\IR^{\red{m}}\,$ [/mm] haben - vielleicht macht man das oben aber, indem
man $U(x,t):=U(x)$ für alle [mm] $t\,$ [/mm] *erweitert* - allerdings ist der Definitionsbereich
dann [mm] $\IR^{d}\times \IR$ [/mm] bzw. [mm] $\IR^m$ [/mm] mit [mm] $m:=d+1\,.$
[/mm]
Wobei ich strenggenommen bei
[mm] $U(x,t):=U(x)\,$
[/mm]
linkerhand nicht [mm] $U\,$ [/mm] schreiben darf...)
Gruß,
Marcel
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Gibts denn eine Operatorrangfolge, die gesagt, was zuerst berechnet werden muss (wie bei "Punkt vor Strich") bei der Faltung und dem Gradienten?
[mm] $\nabla_x [/mm] (U [mm] \* \rho)\ [/mm] $ würde wirklich mehr Sinn machen, da $U$ und [mm] $\rho$ [/mm] beide nach [mm] $\IR$ [/mm] abbilden. Ich denke, dass die Abhängigkeit von [mm] $\rho$ [/mm] von $t$ kein Problem ist, da ich die Faltung über $x$ betrachte.
Wenn ich zuerst die Faltung anwende, bekomme ich ja den Gradienten eines Integrals.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:46 Do 20.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gibts denn eine Operatorrangfolge, die gesagt, was zuerst
> berechnet werden muss (wie bei "Punkt vor Strich") bei der
> Faltung und dem Gradienten?
nicht, dass ich wüßte - normalerweise ist die Rangfolge die, die man
"sieht".
Aber manche Leute schreiben halt nicht immer alles so, dass es eindeutig
erkennbar ist, weil sie sich denken, dass klar ist, dass nur das gemeint
sein kann, was Sinn macht.
Z.B. wenn, der Einfachheit wegen
$f,g [mm] \colon \IR \to \IR$
[/mm]
sind, dann sieht man manchmal die Notation
$f + [mm] g(x)\,,$
[/mm]
welche als
$(f + g)(x)$ [mm] ($:=f(x)+g(x)\,$)
[/mm]
gemeint ist. Denn es ist unsinnig, die Funktion [mm] $f\,$ [/mm] zu dem Funktionswert
[mm] $g(x)\,$ [/mm] zu addieren. (Das hier ist jetzt eher ein künstliches Beispiel, es
gibt sicher bessere - jedenfalls hatte ich mal bessere gesehen, aber die
wollen mir gerade nicht einfallen.)
> [mm]\nabla_x (U \* \rho)\[/mm] würde wirklich mehr Sinn machen, da
> [mm]U[/mm] und [mm]\rho[/mm] beide nach [mm]\IR[/mm] abbilden. Ich denke, dass die
> Abhängigkeit von [mm]\rho[/mm] von [mm]t[/mm] kein Problem ist, da ich die
> Faltung über [mm]x[/mm] betrachte.
Ja - man kann aber, mit dem, was ich gesagt habe, auch die Faltung
"bzgl. [mm] $x\,$" [/mm] machen und der Wert hat dann trotzdem noch eine Zusatzabhängigkeit
von [mm] $t\,.$ [/mm] D.h. im Endeffekt steht dann sowas da wie
$(x,t) [mm] \mapsto \glqq\text{Faltungswert bzgl. }x \text{ hängt auch von }t\text{ ab}\grqq$
[/mm]
> Wenn ich zuerst die Faltung anwende, bekomme ich ja den
> Gradienten eines Integrals.
Ja, Du bildest quasi den [mm] "$x\,$-Gradienten" [/mm] der (auch von [mm] $t\,$ [/mm] abhängigen)
"Faltungsfunktion"
$(x,t) [mm] \mapsto \int_{\tau \in \IR^d} U(\tau) \rho(x-\tau,t) d\tau$ [/mm]
Gruß,
Marcel
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