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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 Fr 19.04.2013 | | Autor: | ne1 |
| Aufgabe | | Zeige $A [mm] \subseteq \bigcup [/mm] P(A)$. |
Sei $x [mm] \in [/mm] A$. Aus der Definition der Potenzmenge wissen wir auch, dass $A [mm] \in [/mm] P(A)$. $x$ ist also ein Element einer Teilmenge der Menge $A$. Aus der Definition der Vereinigung wissen wir also, dass $x [mm] \in \bigcup [/mm] P(A)$.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Fr 19.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeige [mm]A \subseteq \bigcup P(A)[/mm].
> Sei [mm]x \in A[/mm]. Aus der
> Definition der Potenzmenge wissen wir auch, dass [mm]A \in P(A)[/mm].
> [mm]x[/mm] ist also ein Element einer Teilmenge der Menge [mm]A[/mm].
okay, man kann wenigstens zwei Elemente $E [mm] \in P(A)\,$ [/mm] mit $x [mm] \in [/mm] E$ konkret angeben!
Du hast hier [mm] $E=A\,$ [/mm] gewählt, ich nehme ein anderes naheliegendes Element!
> Aus der
> Definition der Vereinigung wissen wir also, dass [mm]x \in \bigcup P(A)[/mm].
Behaupten wir mal Gleichheit und beweisen dies, im Primzip hast Du ja [mm] "$\subseteq$" [/mm] auch
schon bewiesen. Macht aber nichts, ich hab' da halt meinen eigenen Stil,
und das kannst Du dann vergleichen:
[mm] "$\subseteq$" [/mm] Sei $x [mm] \in A\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $\{x\} \subseteq [/mm] A$ und daher [mm] $\{x\} \in P(A)\,.$ [/mm] Es folgt wegen
[mm] $$\bigcup P(A)=\bigcup_{M \in P(A)}M=\bigcup_{M \subseteq A}M$$
[/mm]
daher $x [mm] \in \bigcup P(A)\,.$
[/mm]
[mm] "$\supseteq$" [/mm] Sei $x [mm] \in \bigcup P(A)\,.$ [/mm] Wegen
[mm] $$\bigcup P(A)=\bigcup_{M \in P(A)}M$$
[/mm]
existiert ein $M [mm] \in P(A)\,$ [/mm] mit $x [mm] \in M\,,$ [/mm] also folgt
$$x [mm] \in [/mm] M [mm] \subseteq A\,,$$
[/mm]
also
$$x [mm] \in A\,.$$
[/mm]
(Etwas allgemeiner kann man auch zeigen: Sind [mm] $A_i \in P(A)\,$ [/mm] für alle
$i [mm] \in [/mm] I$ für eine Indexmenge [mm] $I\,,$ [/mm] so folgt
[mm] $$\left(\bigcup_{i \in I}A_i\right) \subseteq [/mm] A$$
bzw.
[mm] $\left(\bigcup_{i \in I}A_i\right) \in P(A)\,.$ [/mm]
Grob gesagt: Vereinigt man Mengen, die alle Teilmengen einer Menge [mm] $A\,$
[/mm]
sind, so ist auch diese Vereinigung wieder eine Teilmenge von [mm] $A\,,$ [/mm] bzw. sie
ist ein Element von [mm] $P(A)\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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. Und wo ist die Frage?
